Matematické Fórum

ajeto · 27. 11. 2012 01:32

dobrý večer,

riešim rovnicu

$(y'')^2=(y')^2+1$ substitúciou $z=y'\,,\,z'=y''$ , teda v tvare $(z')^2=z^2+1$

od $z'=\pm \sqrt{1+z^2}$ postupujem separáciou premenných:

$\int \frac{\mathrm{d}z}{\sqrt{1+z^2}}=\pm \int \mathrm{d}x$

$\mathrm{arcsinh(z)}=\pm x+c$

a mám všeobecné riešenie rovnice pre $z$ :

$z(x)=\sinh{(x+c_1)}+\sinh{(c_2-x)}$

potom $y(x)=\int z(x) \mathrm{d}x$

a mám riešenie pre rovnicu pre $y$ v tvare

$y(x)=\cosh(x+c_1)-\cosh(c_2-x)+c_3$ .

Wolfram mi ale ako riešenie vyhadzuje toto Odkaz

čo sa mi nezdá že by sa dalo prepísať pomocou nejakých súčtových vzorcov na moje riešenie,
už len preto, že je závislé len od dvoch parametrov a nie od troch ...

Poradí niekto kde je chyba?

Rumburak

Toto $z(x)=\sinh{(x+c_1)}+\sinh{(c_2-x)}$ jako řešení rovnice $(z')^2=z^2+1$ mi nepřípadá, že je dobře
(zkouška zderivováním a dosazením do rovnice ? ).
Mělo být, myslím, $z(x)=\pm\sinh(x+c_1), y(x)=\int z(x) \mathrm{d}x=\pm\cosh(x+c_1) + c_2$ .
Ale jen tak odhaduji, podrobný výpočet jsem nedělal.

ajeto · 27. 11. 2012 23:17

zdravím ↑ Rumburak:

áno, skúška dopadla zle, takže to riešenie zrejme nebude,
musím sa priznať, že mi uniká ako sa dostať ku
$z(x)=\pm\sinh{(x+c_1)}$

Rumburak

↑ ajeto:
Zdravím také.
Zkusme rovnici

(1) $(z')^2=z^2+1$

ještě zderivovat. Dostaneme (po vykrácení dvěma) $z'z''=zz'$ a odtud

(2) $z'' = z$

(že $z'(x) \ne 0$ pro každé přípustné $x$ , je z (1) zřejmé) . Obecné řešení rovnice (2) je

$z(x) = A \mathrm{e}^x + B \mathrm{e}^{-x}$ ,

což se dá upravit i do tvaru

$z(x) = K \sinh x + L \cosh x$ ,

v němž konstanty $K, L$ (resp. vztah mezi nimi) volíme tak, aby navíc platilo (1), atd . Toto by byl korektní postup.

Já jsem předchozí tvar řešení $z(x)=\pm\sinh{(x+c_1)}$ v podstatě uhodl na základě vztahů

$\cosh^2t = \sinh^2t + 1 , \cosh t = (\sinh t)'$ .

ajeto · 28. 11. 2012 15:11

no hej, pekný postup ↑ Rumburak:
dá sa to pekne dorátať

ešte ma trochu trápi kde tam zlyháva tá separácia

ako, myslel som že keď mám dve možnosti pre rovnicu $z'= \pm\sqrt{1+z^2}$ ,
teda s plusom a mínusom tak obe možnosti dajú nejaké (rozdielne) riešenie,
preto ten zápis všeobecného riešenia rovnice pre $z$ v ↑ ajeto:

ako keď riešim rovnicu s plusom,
tak mám $z(x)=\sinh{(x+c)}$
a keď s mínusom tak mám $z(x)=\sinh{(c-x)}$
čo mi nepríde ako úplne to isté

Rumburak

↑ ajeto:

Rovnice

(1) $(z')^2=z^2+1$

má tu vlastnost, že libovolné její řešení $z$ má v každém bodě svého definičního oboru nenulovou derivaci.

Odtud na základě věty o Darbouxově vlastnosti derivace plyne:
Jestliže $z$ je řešení rovnice (1) na intervalu $J$ , potom $z'$ na intervalu $J$ nemění znaménko, takže
- buďto ve všech bodech tohoto intervalu je $z'(x) > 0$
- nebo ve všech bodech tohoto intervalu je $z'(x) < 0$ .

Také zřejmě platí tvrzení:
Jestliže $z$ je řešení rovnice (1) na intervalu $J$ , potom také $-z$ je řešením této rovnice na intervalu $J$ .
Bude-li $z(x)=\sinh{(x+c)}$ , pak $-z(x)=-\sinh{(x+c)} = \sinh{(-x-c)} =\sinh{(d-x)}$
a obě funkce řeší rovnici (1) v $\mathbb{R}$ . Avšak lineární kombinace funkcí $\sinh(x+c) , \sinh(d-x)$ (ať již platí
$d = -c$ nebo ne) je sice řešením LINEÁRNÍ rovnice vzniklé ZDERIVOVÁNÍM rovnice (1), avšak v obecném případě
NENÍ řešením rovnice (1), která je NELINEÁRNÍ dif. rovnicí. Zde má původ ona chyba ve Tvém prvním výpočtu.

Podařilo se mi objasnit to ?