Matematické Fórum

veve_maty

Zjistěte, zde jsou zadané množiny U a V vektorové podprostory R^3 nad R, přičemž:

U={[x,y,z] náleží R^3 |x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz < 0 }
V={[x,y,z] náleží R^3 |X^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz +2yz větší rovno 0 }

potřebovala bych vědět postup jak danou věc vypočítat moc děkuji za ochotu

Olin · 15. 11. 2008 16:09

Jen co tak vidím na první pohled,

$x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz = (x + y + z)^2$

Protože se jedná o druhou mocninu reálného čísla, nemůže být výraz nikdy záporný, tudíž je U prázdná množina a V jednoprvková množina {(0; 0; 0)}. Z toho to už snad dokážeš dát, protože já vektorovým podprostorům nerozumím :-(

veve_maty · 17. 11. 2008 18:11

↑ Olin: Já tomuto taky nerozumím :D asi by to chtělo více pro blbce :D

Tomsus · 17. 11. 2008 18:36 — Editoval Tomsus (17. 11. 2008 18:38)

Na to, abychom mohli říci, zda to jsou vektorové prostory, potřebujeme znát ještě dvě operace...

Edit: Tak to prvni nebude vektorovy prostor, protoze v R je ta mnozina prazdna, coz je v rozporu s definici vektoroveho prostoru

Samot · 30. 11. 2008 21:25 — Editoval Samot (30. 11. 2008 21:28)

Zdravím lidi, strašně moc prosím, nešlo by přímo tento příklad nějak rozepsat?? jeho postup ... dostal jsem na úkol úplně stejný příklad ale nedokážu to pochopit a potřeboval bych vidět postup abych prostě věděl Díky moc!!

Samot · 03. 12. 2008 20:51

Fakt nikdo netušíte?:(

Kondr · 03. 12. 2008 21:21

Everybody stand back! I know vector spaces :o) http://imgs.xkcd.com/comics/regular_expressions.png

Tomsus má jistě pravdu, že když dokazujeme, že je nějaká množina vektorovým prostorem, tak potřebujeme mít ty dvě operace a ověřit jejich 8 vlastností ([uzavřenost,komutativita,asociativita,nulový prvek a inverze] pro sčítání, [asociativita a neutrální prvek] pro násobení, a distributivita zleva i zprava násobení vzhledem ke sčítání).

Když ale ukazujeme, že je nějaká množina vektorovým podprostorem něčeho, o čem víme, že je to vektorový prostor (a o R^3 to jistě víme), stačí nám dokázat tři věci:
1)množina je neprázdná
2)s vektorem v obsahuje všechny vektory c*v, kde c je reálné číslo (obecněji c je prvek tělesa, nad nímž vektorový prostor vytvořen) (homogenita)
3)s vektory u a v obsahuje i vektor u+v (aditivita)

$V_1=\{(x,y,z)|x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz \geq 0\}$
Jak píše Olin, levou stranu nerovnosti upravíme na čtverec a vidíme, že do V1 patří všechny vektory z R^3, V1 proto splní všechny podmínky.

$V_2=\{(x,y,z)|x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz < 0\}$
Opět úpravou na čtverec dostáváme, že to je prázdná množina a ta není vektorovým prostorem.

$V_3=\{(x,y,z)|x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz \leq 0\}$
Do této množiny patří pouze vektor (0,0,0). Neprázdnost je tedy splněna. Když vektor (0,0,0) vynásobím nějakým c, dostanu (0,0,0), tedy funguje i homogenita. Konečně (0,0,0)+(0,0,0)=(0,0,0) (jiné vektory, u, v vybrat nemůžu), funguje i aditivita.

Matematické Fórum

#1 15. 11. 2008 15:51 — Editoval veve_maty (15. 11. 2008 15:52)

Množiny U a V jsou vektorové podprostory

#2 15. 11. 2008 16:09

Re: Množiny U a V jsou vektorové podprostory

#3 17. 11. 2008 18:11

Re: Množiny U a V jsou vektorové podprostory

#4 17. 11. 2008 18:36 — Editoval Tomsus (17. 11. 2008 18:38)

Re: Množiny U a V jsou vektorové podprostory

#5 30. 11. 2008 21:25 — Editoval Samot (30. 11. 2008 21:28)

Re: Množiny U a V jsou vektorové podprostory

#6 03. 12. 2008 20:51

Re: Množiny U a V jsou vektorové podprostory

#7 03. 12. 2008 21:21

Re: Množiny U a V jsou vektorové podprostory

Zápatí