Matematické Fórum

tervueren · 30. 11. 2008 22:10

Prosím o pomoc, čeká mě to zítra...
Dva traktory zorají pole za 4 hodiny. Kdyby první traktor zoral polovinu pole a pak druhý traktor práci dokončil, trvala by orba 9 hodin. Za kolik hodin zorá pole každý traktor zvlášť.

Přemýšlím, že je to úloha o společné práci, tedy rovno jedna, ale nevím jak postupovat při sestavení rovnice. Tomáš

halogan · 30. 11. 2008 22:28

Řešil jsem to hrozně složitě, tak snad někdo doplní něco snažšího.

1) "Dva traktory zorají pole za 4 hodiny."
Takže když první za hodinu zorá 1/a a druhý zorá 1/b. (když orá dejme tomu 8 hodin pole, tak za každou hodinu zorá 1/8).
Tak tedy:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{4}$
Společně každou hodinu zorají jednu čtvrtinu.

Z toho jsem si vyjádřil b jako $b = \frac{4\cdot a}{a - 4}$

2) "Kdyby první traktor zoral polovinu pole a pak druhý traktor práci dokončil, trvala by orba 9 hodin."

Takže první traktor zorá půlku pole za a/2 času. (orá třeba 8 hodin jedno pole, takže za 4 hodiny má polovinu). Druhý tedy doorá zbytek za 9 - a/2 času.
$\frac{\frac{1}{2}}{a} + \frac{9 - \frac{a}{2}}{b} = 1$

Teď si za b dosadím do té druhé rovnice a dostanu se postupně až do kvadratické rovnice
$a^2 - 18a + 72 = 0 \nl (a - 6)\cdot (a - 12) = 0 \nl a_1 = 6 \nl a_2 = 12 \nl$

Vyšly nám dvě řešení, protože nemáme specifikováno, který traktor je který. Takže když jeden to zorá za 6 hodin, druhý bude orat 12 a naopak.

Zkouška je jednoduchá.

Dosadíme do první rovnice.
$L = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4} \nl P = \frac{1}{4}$

tervueren · 30. 11. 2008 22:35

Vodní nádrž se naplní prvým přítokem o 4 hodiny, druhým o 9 hodin později než oběma dohromady. Za jakou dobu se naplní každým zvlášť?

Děkuji předem za pomoc v tuto pozdní hodinu...

Ivana · 01. 12. 2008 07:03

↑ tervueren:Tato úloha je opět zadána dvakrát a dobře ji vyřešil Halogan . :-)

Chrpa · 01. 12. 2008 21:37 — Editoval Chrpa (01. 12. 2008 21:38)

↑ halogan:
Jednodušeji se to dá řešit takto:
x - počet hodin, za které zorá pole první traktor
y - počet hodin, za které zorá pole druhý traktor
Když první traktor zoríá pole za x hodin pak polovinu pole zorá za x/2 hodin.
To samé druhý traktor polovinu pole zorá za y/2
Takto jim práce trvá 9 hodin
Sestavíme rovnici:
$\frac x2+\frac y2=9\nlx+y=18$
Když orají traktory společně trvá jim práce 4 hodiny tj:
$\frac 4x+\frac 4y=1\nl4(x+y)=xy\nlx+y=\frac{xy}{4}$
Za výraz x+y dosadíme z první rovnice 18 a dostaneme:
$18=\frac{xy}{4}\nlxy=72$
Z první rovnice vyjádříme x a dosadíme do rovnice 3 a dostaneme:
$(18-y)y=72\nly^2-18y+72=0\nly_1=12\nly_2=6$
dopočítáme x a dostaneme:
$x_1=6\nlx_2=12$
A je hotovo.

Cheop · 02. 12. 2008 06:53 — Editoval Cheop (02. 12. 2008 07:33)

↑ tervueren:
Vidím, že ti nikdo neodpověděl na tuto úlohu.

Vodní nádrž se naplní prvým přítokem o 4 hodiny, druhým o 9 hodin později než oběma dohromady.
Za jakou dobu se naplní každým zvlášť?

Označme
x - doba, za kterou se naplní nádrž oběma přítoky současně. (x>0)
pak:
x+4 - naplnění nádrže jen prvním přítokem
x+9 - naplnění nádrže jen druhým přítokem
Můžeme psát:
$\frac{1}{x+9}+\frac{1}{x+4}=\frac{1}{x}\nlx(x+4)+x(x+9)=(x+9)(x+4)\nlx^2+4x+x^2+9x=x^2+13x+36\nlx^2=36\nlx=6$

První nadrž x+4 = 6+4 = 10 hodin

Druhá nádrž x+9 = 6+9 = 15 hodin

halogan · 02. 12. 2008 18:54

↑ Cheop:
Ale odpověděl :) Viz Irena - http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=5170

K tvému řešení. Je sice správně a odpověď je pouze kladných 6, ale napsat

$x^2 = 36 \nl x = 6$ není úplně košér. Sice se jedná pouze o kladná čísla, ale dobré by bylo nemást zadávajícího.

Chrpa · 02. 12. 2008 19:54

↑ halogan:
A co toto:
x - doba, za kterou se naplní nádrž oběma přítoky současně. (x>0)

halogan · 02. 12. 2008 22:06

To ano. Vždyť říkám, že x je dané jako kladné. Jen není tak správné použít výpočet, který je v jiném kontextu chybný. Toť vše.

Chrpa · 02. 12. 2008 22:12

↑ halogan:
Po pravdě řečeno se mi to nechtělo vypisovat až do konce.
Uznávám že mělo být:
$x^2=36\nlx_1=6\nlx_2=-6\,\textrm\,{nevyhovuje}$

halogan · 03. 12. 2008 08:16

Podle mě stačí |x| = 6; x = 6 (viz podmínka) a hotovo. Jen ať tam vidí tu absolutní hodnotu.

Jinak hezčí řešení než to moje :)

kubistation · 19. 02. 2009 18:31

Prosím o pomoc, vůbec si s tím nevím rady.
1) Turista vykonal cestu dlouhou 45 km svižnou rychlostí. Kdyby urazil za hodinu o půl kilometru méně, došel by do cíle o hodinu později. Jakou rychlostí a jak dlouho šel původně.

2)Dvě auta vyjela současně týmž směrem z bodu A.První jelo rychlostí , druhé rychlostí . O půl hodiny později vyjel z bodu A třetí automobil, který předjel první auto o půldruhé hodiny později než druhé auto. Určete rychlost třetího auta.

3)Po dvojím snížení cen o stejné procento klesla cena výrobku z 300 na 192 Kč. O kolik procent byla cena snižována?

4)Racionální číslo je zapsáno zlomkem, jehož čitatel je o 10 větší než jmenovatel. Zmenšíme-li čitatele i jmenovatele zlomku o 3, bude nový zlomek vyjadřovat číslo 6. Určete původní zlomek.

děkuju

Chrpa · 19. 02. 2009 20:32 — Editoval Chrpa (19. 02. 2009 20:35)

↑ kubistation:
Označme:
t - čas cesty v prvním případě
v - rychlost chůze v prvním případě

Pak podle známého vzorce: $s=v\cdot t$ kde s je ujitá vzdálenost platí:
$v\cdot t=45\,\Rightarrow\,v=\frac{45}{t}$
V druhém případě se rychlost snížila o 1/2 km/h a čas se prodlouřil o 1 hodinu tj:
$(v-\frac 12)(t+1)=45$ za rychlost v dosadíme do druhé rovnice v a dostaneme:
$\left(\frac{45}{t}-\frac 12\right)(t+1)=45$ úpravou:
$90t-t^2+90-t=90t\nlt^2+t-90=0\nlt_1=9\nlt_2=-10$
Takže v prvním případě mu cesta trvala 9 hodin.
Vypočítáme jeho rychlost tj:
$v=\frac{45}{t}=\frac{45}{9}=5\,\textrm{km/h}$
V prvním případě ušel 45 km za 9 hodin rychlostí 5 km/h, ve druhém případě ušel 45km za 10 hodin rychlostí 4,5 km/h

marnes · 19. 02. 2009 20:48

↑ kubistation:
4. (x+10)/x (x+7)/(x-3)=6
x+7=6x-18
x=5
Původní zlomek 15/5

marnes · 19. 02. 2009 20:52

↑ kubistation:
3. 300.x.x=192
x.x=192/300=0,64
x=0,8 tzn 80%
Cena byla snižována o 20%

Chrpa · 19. 02. 2009 20:53

↑ kubistation:
Nechybí ti ve druhém příkladě nějaký údaj?
Třeba rychlost prvního nebo druhého vozidla?

kubistation · 19. 02. 2009 23:30

No jo omlouvám se, úplně jsem zapomněla na rychlosti :-D

Dvě auta vyjela současně týmž směrem z bodu A.První jelo rychlostí 50 km/h, druhé rychlostí 40 km/h . O půl hodiny později vyjel z bodu A třetí automobil, který předjel první auto o půldruhé hodiny později než druhé auto. Určete rychlost třetího auta.

jelena · 20. 02. 2009 00:28

↑ kubistation:

Zdravím :-)

50 km/hod - rychlost 1. auta

40 km/hod - rychlost 2. auta

x - rychlost 3. auta

--------------------------

Do okamžíku, kdy vyjelo 1 a 2 auto, do okamžiku, kdy třetí auto předjelo druhé (nejpomalejší), uplynulo t hodin.

Třetí auto vyjelo pozděj o 0,5 hodiny, proto doba jeho cesty do přejetí byla pouze (t-0,5),

1. rovníce:

40t = x(t-0,5)

--------------------------
V okamžíku, kdy druhé auto bylo předježděno, bylo první auto dál a to o kousek (50t-40t)=10t km. A jelo ještě 1,5 hodin s rychlosti 50 km/hod, než bylo take předjeto:

2. rovnice:

10t + 1,5*50 = 1,5x

----------------------------

Soustava rovnic k řešení (doporučuji metoru dosazovací):

40t = x(t-0,5)

10t + 75 = 1,5x

OK?

-----------

↑ Chrpa: zdravím a prosím o kontrolu a o hezčí nápad, děkuji :-)

Cheop · 20. 02. 2009 09:18 — Editoval Cheop (20. 02. 2009 09:27)

↑ jelena:
Zdravím:)
Já bych to počítal takto:
Označme:
Rychlost prvního auta 50 km/h
Rychlost druhého auta 40 km/h
rychlost třetího auta - v (v > 50 km/h)
t_1 čas prvního auta než ho dojede třetí auto
t_2 čas duhého auta než ho dojede třetí auto
t_1 - 1/2 čas třetího auta než dojede první auto
t_2 - 1/2 čas třetího auta než dojede druhé auto
Sestavíme rovnice:
1) $50t_1=v(t_1-\frac 12)$
2) $40t_2=v(t_2-\frac 12)$
3) $t_1-t_2=\frac 32$ (podle zadání dohoní třetí auto první auto za 1,5 hodiny poté co minulo druhé auto)
Z první rovnice vyjádříme čas t_1
4) $50t_1=v(t_1-\frac 12)\nl50t_1=vt_1-\frac v2\nl\frac v2=vt_1-50t_1\nlt_1(v-50)=\frac v2\nlt_1=\frac{v}{2(v-50)}$
Z druhé rovnice vyjádříme čas t_2
5) $40t_2=v(t_2-\frac 12)\,\Rightarrow\nlt_2=\frac{v}{2(v-40)}$

Rovnice 4) a 5) dosadíme do rovnice 3)
$t_1-t_2=\frac 32\nl\frac{v}{2(v-50)}-\frac{v}{2(v-40)}=\frac 32$ - úpravou dospějeme ke kvadratické rovnici:
$3v^2-280v+6000=0$ jejímž řešením je:
$v=60\,\vee\,v=\frac{100}{3}\,\textrm{ne\,v\,>\,50}$

Třetí auto jede rychlostí 60 km/h

Edit: Jelena - tobě vyjde úpravou stejná kvadratická rovnice jako mě.
Tvoje řešení je ale lepší a přehlednější.

Cheop · 20. 02. 2009 09:51 — Editoval Cheop (20. 02. 2009 10:02)

↑ kubistation:
Př. 3)
x - sleva v %
pak můžeme psát:
$\frac{300(100-x)(100-x)}{100\cdot 100}=192\nl(100-x)^2=6400\nlx^2-200x+3600=0\nlx_{1,2}=100\pm80\nlx=20\,\textrm{%}$

Sleva činí 20 % z ceny zboží.

jelena · 22. 02. 2009 11:37

↑ Cheop:

Ještě jednou hezký den a děkuji za kontrolu. Také děkuji za doplnění obrázku a postupu konstrukce v jiném tématu :-)

Tvůj nápad porovnat časy přez rozdíl "1,5 hodin" je také dobrý, možna by se podařilo vymyslet postup, aby těch neznamých nebylo tolik.

Obvykle se snažím, aby bylo neznamých co nejmeně, ať se jedna vyjadří přes druhou, pokud je to možné a také vím, že dolní koeficienty dělají trochu problém.

Také je zaimavé, že autor zadání se ani nevyjádří, zda to pochopil(a) nebo ne, ale co už.

Rozhodně máš vždy pečlivou úpravu a je vidět, že si dáváš záležet i na podrobné kontrole :-)

Mia1507 · 22. 02. 2009 11:39

ahoj:) Potřebovala bych pomoci s jednou slovní úlohou:

Cyklista jede třikrát větší rychlostí, než jde chodec. Oba se pohybují po stejné trase a vycházejí (vyjíždějí) ze stejného místa. Cyklista vyjíždí čtvrt hodiny po odchodu chodce. Od okamžiku, kdy vyjede cyklista, se setkají za kolik minut?

Předem moc děkuji za pomoc:)
Hezkou neděli

jelena · 22. 02. 2009 11:49

↑ Mia1507:

Zdravím :-)

jedna možnost řešení:

x - rychlost chodce, který se pohybovat t hodin, to znamená, že ušel dráhu x*t

3x - rychlost cyklisty, který se pohyboval o 1/4 hodiny méně tj. (t-1/4) a ušel dráhu 3x(t-1/4)

jelikož dráha chodce a cyklisty byla stejná, můžeme sestavit rovnici:

x*t = 3x(t-1/4)

levou a pravou strany můžeme podělit x (předpokládáme, že rychlost nebyla nulová) a řešime rovnici, ze které najdeme t.

Čas cyklisty pak najdeme jako t-1/4.

OK?

Matematické Fórum

#1 30. 11. 2008 22:10

Slovní úloha

#2 30. 11. 2008 22:28

Re: Slovní úloha

#3 30. 11. 2008 22:35

Re: Slovní úloha

#4 01. 12. 2008 07:03

Re: Slovní úloha

#5 01. 12. 2008 21:37 — Editoval Chrpa (01. 12. 2008 21:38)

Re: Slovní úloha

#6 02. 12. 2008 06:53 — Editoval Cheop (02. 12. 2008 07:33)

Re: Slovní úloha

#7 02. 12. 2008 18:54

Re: Slovní úloha

#8 02. 12. 2008 19:54

Re: Slovní úloha

#9 02. 12. 2008 22:06

Re: Slovní úloha

#10 02. 12. 2008 22:12

Re: Slovní úloha

#11 03. 12. 2008 08:16

Re: Slovní úloha

#12 19. 02. 2009 18:31

Re: Slovní úloha

#13 19. 02. 2009 20:32 — Editoval Chrpa (19. 02. 2009 20:35)

Re: Slovní úloha

#14 19. 02. 2009 20:48

Re: Slovní úloha

#15 19. 02. 2009 20:52

Re: Slovní úloha

#16 19. 02. 2009 20:53

Re: Slovní úloha

#17 19. 02. 2009 23:30

Re: Slovní úloha

#18 20. 02. 2009 00:28

Re: Slovní úloha

#19 20. 02. 2009 09:18 — Editoval Cheop (20. 02. 2009 09:27)

Re: Slovní úloha

#20 20. 02. 2009 09:51 — Editoval Cheop (20. 02. 2009 10:02)

Re: Slovní úloha

#21 22. 02. 2009 11:37

Re: Slovní úloha

#22 22. 02. 2009 11:39

Re: Slovní úloha

#23 22. 02. 2009 11:49

Re: Slovní úloha

Zápatí