Matematické Fórum

↑ MorDeus:
Jako všichni z VŠB, ani ty nemáš naprosto tušení o co jde. Hledáš dimenzi prostoru generovaného vektory ((2,1,1),(1,-1,1),(1,2,0)). Chceme tedy zjistit, jestli jsou tyto vektory lineárně nezávislé, nebo případně kolik jich musím vyhodit, abych je LN udělal. Dimenze prostoru = počet vektorů, které mi zbydou.

Jak na to. Logické by bylo sestavit si soustavu rovnic (z definice lineární nezávislosti)
2 1 1
1 -1 2
1 1 0
a vyřešit ji. Ty sis sestavil soustavu "transponovanou". Budiž, to by až tak nevadilo. Sice je v tom méně vidět co děláš, ale hodnost té matice a tedy dimenze řešení bude stejná. Co se ovšem už odpustit nedá je ta tvá první úprava. Když od prvního řádku odečteš třetí a od třetího zároveň ten ještě neupravený první, tak to celé zničíš. Je snad jasné, že a-b = -(b-a) nezávisle na a,b, takže tím se o jednu rovnici prostě připravíš. V každém kroku úprav doporučuju jeden řádek opsat, a k ostatním přičítat násobky jen toho jednoho řádku. Jinak se do toho zamotáš a uděláš blbost, jako jsi udělal.

Výsledek samozřejmě nemůže být (1,-1,1), co by to vůbec znamenalo, že řešením něčeho je řádek matice soustavy? Soustava bude mít nějaké řešení, což budou tři čísla - v případě té tvé (ovšem špatně) upravené matice by bylo jedno řešení třeba trojice (1,1,0) nebo (0,1,1): a jakákoli lineární kombinace těch dvou (pozn. protože máš transponovanou soustavu, nedá se těm třem číslům přisoudit nějaký na první pohled jasný význam - to ale nevadí). Žádné další řešení které by se nedalo zapsat jako kombinace těch dvou už není, takže dimenze prostoru řešení je 2, a tedy dimenze původního prostoru by byla 1.
Ve skutečnosti je to jinak, protože tvá upravená matice je špatně.

↑ MorDeus:
Nemám tam překlep. Moje matice neměla být stejná jako tvoje, jsou transponované, jak jsem psal. To ale není tak podstatné, pokud to chceš jen nějak spočítat a neřešit jak to funguje.

Matici uprav na schodový tvar. Jestli budou na diagonále jedničky nebo ne, to je úplně jedno. Zajímá tě jen a pouze její hodnost.

↑ MorDeus:
Po oboru hodnot nemusíš pátrat, ten máš přímo v zadání. Je to lineární obal vektorů (2,1,1),(1,-1,1),(1,2,0). Ptají se tě na jeho dimenzi.

V upravené matici spočítej kolik řádků se "vynulovalo", a to odečti od celkového počtu řádků. Výsledek je hodnost matice (ne obor hodnosti, to nic není).
Nebo jinak řečeno, spočítej kolik je ve schodovém tvaru schodů.

↑ MorDeus:
Úpravy jsou správně (kromě jednoho špatně opsaného čísla z papíru, ale finální výsledek je ok), řešení ne. Dokázal bys mi říct, jaké řešení by měla soustava rovnic
x+z=0
z-y=0
?

Proč se na to ptám? Proto, že ta matice není vůbec nic jiného než právě taková soustava rovnic.

Správné řešení budou dva jiné LN nezávislé vektory, v podstatě nám je jedno jaké, podstatné je, že budou 2 (zajímala nás hodnost). Dimenze oboru hodnot bude tedy 2.

↑ MorDeus:
Pokud chceš vyčíst ty vektory, tak vyřeš tu soustavu co jsem ti poslal.

Je nám jedno jaké jsou to vektory. Že dimenze bude 2 vím proto, že z té soustavy je vidět, že budou 2 LN řešení. Nemůže to být jinak, zbyla z toho soustava dvou lineárních rovnic pro tři neznámé (přesně řečeno je to důsledkem Frobeniovy věty).

Že ti vyšel nulový řádek znamená, že ty původní vektory jsou lineárně závislé. Jeden řádek se ti vyřadil, dva zbyly - dimenze lineárního obalu těch původních vektorů (a tedy oboru hodnot zobrazení A) je dva.

↑ MorDeus:
Z toho prvního odstavce nerozumím vůbec ničemu, ale ani trochu. Jediné co vím je, že dimenze oboru hodnot toho zobrazení je 2. Kdyby měla být jedna, musely by všechny tři vektory být navzájem svými násobky, což evidentně nejsou.

U druhého příkladu.. Bude asi nejlepší, když využiješ izomorfismu p2 a R3, a budeš počítat jako by bylo zadání A:R3->R3
A(1,-1,0)=(2,2,-1)
A(1,1,1)=(1,-1,1)
A(-1,1,1)=(1,3,-2)

Dimenze zobrazení je dimenze oboru hodnot, a tu spočítat už umíme - takže ano, to je stejný. Abychom našli jádro, musíme nejdřív vědět co to je. Víš to?

↑ Jirik-1357:
Dimenze oboru hodnot + dimenze jádra = dimenze definičního oboru (u nás tedy R3, ne R).

Takže to tak být může. Ale u původního příkladu se o počítání dimenze jádra nic neříkalo... No, uvidíme.

No moment pánové..

No tak jsem ten postup myslel..


no tak jádro můžeme vypočítat Gaussova eliminace s parametrizaci.. nejlepe asi parametrizovat aby jsme se dostali k vysledku.. 


Aspon myslím teda.. pokud jsem dobře pochotil s Přednášky..

Tak sjem to blbě napsal.. no .. sakra.. neuznal mi ten prikald mam to pravit a donest znovu.. asi jsem blbě naspal dimenzi sakra.. jáááj..

Napište mi prosím ten obor hodnot někdo.. všechno mam jen to mi chybí.. :D děkuji !! :D