Matematické Fórum

Kája2 · 28. 11. 2012 11:19

Ahoj, mám opravdu velmi hloupou otázku,ale velmi mi její zodpovězení pomůže.Hledám-li opačný prvek v operaci, která je zadána takto: $A+B = A \cup B$ . Určuji tedy $A \cup (-A)= \emptyset$ . Jaký by zde byl inverzní prvek $-A$ .Budu rád za každou radu.

vanok · 28. 11. 2012 11:46

Ahoj ↑ Kája2:,
Ak nepopises podrobne tvoju strukturu, je nemozne odpovedat na tvoju otazku.

Kája2 · 28. 11. 2012 11:52

↑ vanok:
Mám rozhodnout, zda množina všech podmnožin roviny s operacemi $A+B = A\cup B$ , $r\cdot A=\{(rx,ry);(x,y)\in A\},r\in \mathbb{R}$ .

kompik · 28. 11. 2012 16:28

↑ Kája2:
$A\cup B\supseteq A$ pre akukolvek mnozinu B, takze ak $A\ne\emptyset$ , nemoze existovat taka mnozina B, pre ktoru by platilo $A\cup B=\emptyset$ .

BTW asi si nedokoncil svoj posledny prispevok.

Kája2 · 29. 11. 2012 04:33

↑ kompik:
jé, pardon.Mám rozhodnout, zda tato množina tvoří vektorový prostor.Super, děkuji.A mohl bych se ještě zeptat, jak bych zde aplikoval přesně násobení vektoru skalárem?Tento zákon: $\forall A,B\in M \forall r\in \mathbb{R}: r\cdot (A+B)= r\cdot A+r\cdot B$ ?Jak bych přesně dosadil.

kompik · 29. 11. 2012 09:05 — Editoval kompik (13. 12. 2012 18:34)

↑ Kája2:
Pytame sa, ci $r(A\cup B)=rA\cup rB$ .
Rovnost dvoch mnozin mozeme dokazat tak, ze skontrolujeme, ze do jednej patria prave tie prvky, ktore patria do druhej.
$x\in r(A\cup B)$ $\Leftrightarrow$ $(\exists y) y\in A\cup B \land x=ry$ $\Leftrightarrow$ $(\exists y) (y\in A \lor y\in B) \land x=ry$ $\Leftrightarrow$ $(\exists y) [(y\in A \land x=ry) \lor (y\in B \land x=ry)]$ $\Leftrightarrow$ $x\in rA \lor x\in rB$ $\Leftrightarrow$ $x\in rA\cup rB$
Skus si poriadne rozmysliet to, co som sa tu snazil zapisat formalne. (Dokazy by sa nemali pisat takto, ale v prirodzenom jazyku. Nechcelo sa mi to ale rozpisovat a navyse, ked sa to chces naucit, treba nechat nejaku pracu aj pre teba.)

A cele je to v podstate variacia na to, ze $f[A\cup B]=f[A]\cup f[ B]$ , ak $f$ je bijekcia. (Nieco take ste pravdepodobne robili v prvackej diskretnej. A malo by to byt pomerne zrejme.) Zobrazenie $x\mapsto rx$ je skutocne bijekcia, ak $r\ne0$ .