Matematické Fórum

Vergil · 27. 10. 2008 15:22

Ahoj,
potřeboval bych pomoct s pár integrály:
$\int\frac{x^5+x^4+3x^3+x^2-2}{x^4-1 }dx$
$\int_{0}^{2}(x^2-x )e^x$

Vůbec jsem si s němi nevěděl rady jsou to zkouškové typy tak by se mi hodil i postup :-)

Děkuji mnohokrát!

musixx · 27. 10. 2008 15:34 — Editoval musixx (27. 10. 2008 15:35)

↑ Vergil: Prvni integral: Nejprve vydelit polynomy delenim se zbytkem, vznikne integral z linearniho polynomu + integral ze zlomku, kde v citateli je polynom nanejvys kubicky a ve jmenovateli x^4-1; ten rozlozit na parcialni zlomky.

Druhy integral: Typicky per-partes, kde integrujes e^x a derivujes to x^2, pripadne x zvlast, pokud si integral rozdelis na soucet dvou integralu (coz vlastne ani neni treba: klidne vem u'=e^x, v=x^2-x).

Staci?

ttopi · 27. 10. 2008 18:44

Per-partes tam bude 2x, výsledek by měl být (jen pro kontrolu)
$I=(x^2-3x+1)e^x+2e^x$
teď už jen dosadit meze.

ttopi · 27. 10. 2008 19:09

Ta 1)

Dělení: $(x^5+x^4+3x^3+x^2-2):(x^4-1)=x+1+\frac{3x^3+x^2+x-1}{x^4-1}$

Pak řešíme jen integrál té racionální funkce.
$\frac{3x^3+x^2+x-1}{x^4-1}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{C}{x+1}+\frac{D}{x-1}$

Výpočet koeficientů dělat nebudu, ale po dosazení za x=1 dostanem D=1.
Po dosazení x=-1 dostanem C=1.
Srovnáním koeficientů u $x^3$ dostaneme A=1.
Srovnáním koeficientů u $x^2$ dostanem B=1.

Celkem tedy:
$I=\int \frac{x+1}{x^2+1}+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}+x+1\ dx$

Vše je snadné, jen snad $\int \frac{x+1}{x^2+1}\ dx$ je třeba více řešit.
Ale jednoduše ho rozložíme na $\int \frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}\ dx$

Celkem tedy:
$I=\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+\arctan(x)+\ln|x+1|+\ln|x-1|+\frac{1}{2}x^2+x+C$

ahoj444

možem sa spytat podla akeho vzorca si integroval to x/x^2+1 ?lebo mi to neako neide že ked sa to z integruje tak vijde 1/2ln(x^2+1) za odpoved dakujem

kaja.marik · 01. 12. 2008 07:34

integral zlomku, kde v citateli je derivace jmenovatele. jde take substituce x^2+1=t

ahoj444 · 01. 12. 2008 11:42

aha už som pochopil ako stacilo dat 1/2 a v citaleli ostane 2x a to už sa da pocitat podla vzorca dakujem :D

Matematické Fórum

#1 27. 10. 2008 15:22

Integrály

#2 27. 10. 2008 15:34 — Editoval musixx (27. 10. 2008 15:35)

Re: Integrály

#3 27. 10. 2008 18:44

Re: Integrály

#4 27. 10. 2008 19:09

Re: Integrály

#5 01. 12. 2008 01:01 — Editoval ahoj444 (01. 12. 2008 01:01)

Re: Integrály

#6 01. 12. 2008 07:34

Re: Integrály

#7 01. 12. 2008 11:42

Re: Integrály

Zápatí