Matematické Fórum

lukaszh · 01. 12. 2008 20:47

Ahojte,
Ako dokážem, že Riemanova funkcia je spojitá v iracionálnych číslach a nespojitá v racionálnych?
Ja som si to začal rozpisovať podľa definície, najprv racionálne:
$\forall\varepsilon\,>\,0\;\exists\delta\,>\,0\;\forall x\in\mathbb{R}\,:\; \left|x-\frac{m}{n}\right|\,<\,\delta\Rightarrow\left|R(x)-\frac{1}{n}\right|\,<\,\varepsilon$
Ale neviem čo s tým.
Dik za pomoc.

Marian · 01. 12. 2008 21:48 — Editoval Marian (01. 12. 2008 22:02)

Zvol iracionální $x_0\in [0,1]$ a $\varepsilon >0$ libovolně, ale pevně. Existuje jistě jen konečný počet přirozených čísel $q$ , která nepřevyšují svou hodnotou číslo $\frac{1}{\varepsilon}$ . Proto existuje jen konečný počet racionálních čísel $\frac{p}{q}$ , pro která $R\left (\frac{p}{q}\right )=\frac{1}{q}\ge\varepsilon$ . To tedy znamená, že existuje tak malé $\delta >0$ , že v intervalu $(x_0-\delta ,x_0+\delta )$ neleží žádný z těchto bodů (v důsledku jejich konečného počtu). Proto
$\left |R(x)-R(x_0)\right |=R(x)<\varepsilon ,\qquad\forall (x_0-\delta,x_0+\delta ).$

Nespojitost v racionálních bodech se dokáže podobně. Nechť $x_0\in [0,1]\cap\mathbb{Q}$ . Zvolme $0<\varepsilon <R(x_0)$ . Ale ať je číslo $\delta >0$ sebemenší, vždy jsou v intervalu $(x_0-\delta ,x_0+\delta)$ jak racionální, tak iracionální body intervalu $[0,1]$ . Takže nerovnosti $|R(x)-R(x_0)|<\varepsilon$ nemůže být volbou našeho $\varepsilon$ vyhověno (pro iracionální $x\in (x_0-\delta ,x_0+\delta)$ ). To dokazuje nespojitost v racionálních bodech.

lukaszh · 01. 12. 2008 23:15

↑ Marian:
Ahoj,
nechápem, prečo si volil práve 1/epsilon a z toho vychádzal. Dá sa na to nejako prísť, lebo neviem neviem, či by ma to napadlo. Mohol by si mi to trošku-veľmi :-) objasniť?

Marian · 02. 12. 2008 13:20

↑ lukaszh:
Není to těžké, jen nemám tolik času, abych to rozepsal. Může to zkusit klidně někdo jiný - nezakazuji to.
:-)

Pavel · 02. 12. 2008 13:48

↑ lukaszh:

Marian použil obrat 1/epsilon pro to, aby ukázal, že všechna racionální čísla (zapsaná v základním tvaru p/q) ležící v dostatečně malém epsilonovém okolí reálného čísla x mají "hodně velké" jmenovatele, tedy jmenovatele větší než 1/epsilon. A Riemannova funkce nabývá v takovýchto racionálních číslech hodnoty blízkých 0.

Takže je-li x_n posloupnost racionálních čísel konvergující k nějakému reálnému číslu x, a to taková, že všechna x_n jsou různá od x, pak Riemannova funkce zobrazí tuto posloupnost na posloupnost nulovou (konvergující k nule.)

Matematické Fórum

#1 01. 12. 2008 20:47

Riemanova funkcia a spojitosť

#2 01. 12. 2008 21:48 — Editoval Marian (01. 12. 2008 22:02)

Re: Riemanova funkcia a spojitosť

#3 01. 12. 2008 23:15

Re: Riemanova funkcia a spojitosť

#4 02. 12. 2008 13:20

Re: Riemanova funkcia a spojitosť

#5 02. 12. 2008 13:48

Re: Riemanova funkcia a spojitosť

Zápatí