Matematické Fórum

Doxxik · 30. 11. 2012 16:41 — Editoval Doxxik (30. 11. 2012 19:40)

Zdravím, přátelé, po opravdu dlouhé době :) (byť jsem sem čas od času nepoznán zavítal..)!

řeším teď jeden příklad a nevím, zda kráčím po správné cestě k výsledku.. Budu proto moc rád za radu..
Teď už k příkladu:

Vím, že trojný určitý integrál z dané funkce existuje (znám jeho hodnotu); zajímá mě daná funkce integrovaná pouze podle dvou ze tří proměnných. Bohužel (ač sama integrovaná funkce není nikterak zákeřná) integrační meze třetí proměnné závisí (a ne zrovna triviálním způsobem) na těch dvou, podle nichž bych chtěl integrovat.

-> Konkrétní data:
> Množina, přes níž integruji: $\{0<x<a; 0<y<a; 2y^2+xy-2ay-a^2 < z <2y^2+xy+ax-3ay\}$ , edit: tu jsem měl chybu, v prvním výrazu třetí nerovnosti je totiž $y^2$ místo $x^2$
> kde $a$ je reálný parametr; $a>0$ lib.
> Zajímá mne integrál podle $x$ a $y$ .

---

Jak bych na to šel:
(takový první nápad, ale abych pravdu řekl, moc si jím jistý nejsem..)
-> pro dané $z$ a pro $y$ zřejmě platí (po úpravách): $\max \left(0, \frac{z-2y^2+3ay}{y+a} \right) < x < \min \left( a , \frac{a^2 - 2y^2+2ay + z}{y} \right)$
-> integrováním funkce $f$ přes tento interval dostanu nějakou funkci $[h]_{\max(...)}^{\min(...)}$
-> pro dané $z$ jsem schopen vyjádřit si, pro která $y$ budou funkce $\min$ a $\max$ (viz výše) nabývat jakých hodnot
-> dostávám tak součet několika integrálů $\int_{neco}^{neco jineho} [h]_{\max(...)}^{\min(...)} dy$ (podle intervalu z minulého bodu)
-> požadovaná funkce $g(z)$ je oním součtem pro $z \in (A,B)$ , kde $A,B$ jsou maximální a minimální hodnotou z splňující nerovnice v předpisu množiny, přes níž integruji

//takže by mělo platit

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

---

Předem vám všem díky za rady/okomentované chyby v postupu/aj.

Krásný zasněžený večer!

Doxxik

Rumburak

↑ Doxxik:

Ahoj. Připadá mi, že cesta přes nerovnost

$\max \left(0, \frac{z-2y^2+3ay}{y+a} \right) < x < \min \left( a , \frac{a^2 - 2y^2+2ay + z}{y} \right)$

je zbytečně složitá .

K té trojrozměrné množině $M$ potřebuješ určít její kolmý průmět $M^*$ do roviny Pxy, tedy do toho čtverce (0, a) x (0, a) . Bude

$M^* = \{ [x , y] : 0<x<a; 0<y<a; 2x^2+xy-2ay-a^2 < 2y^2+xy+ax-3ay\}$ .

Ale vyřešit tu třetí nerovnici asi nebude snadné ... EDIT: ... ale po jejím algebraickém zjednodušení se leccos vyjasní.
Když ji změníme na rovnici, nedostaneme náhodou rovnici hyperboly ?

Připouštím, že jsem Tě možná špatně pochopil.

Doxxik · 30. 11. 2012 20:09 — Editoval Doxxik (04. 12. 2012 08:17)

Teď jsem si všiml, že jsem v původním předpise množiny $M$ udělal chybu. Správně mělo být na obou stranách $2y^2$ . Proto se poslední z rovnic $M^*$ krásně "smrskne" na $y < x+a$ , což vzhledem k původním dvěma nerovnicím platí samozřejmě vždy.

Možná pro pokročilý stav týdne (pátek večer), možná kvůli své neznalosti, ale pořád nevidím, jak dál s $M^*$ naložit. Mohl bys mne, prosím, ještě pošťouchnout?

---

Připouštím, že jsem Tě možná špatně pochopil.

Abych konkrétně zformuloval svůj dotaz:

-> Jde mi o to spočítat funkci $g(z)$ , která bude výsledkem integrace původní funkce $f(x,y,z)$ podle $x$ a $y$ na množině $M$ .
-> (a abych nastínil, proč mne to zajímá - počítám jednu transformaci náhodných veličin a potřebuji zjistit marginální hustotu transformované n.v.)

edit:
Tak jsem našel článek popisující Tvůj postup. Bohužel (nedošlo-li k nedorozumění tentokrát z mé strany) to neřeší můj problém. Nebo alespoň ho neřeší v současném tvaru - nejspíš by stálo za to zkusit udělat průmět do roviny např. Pyz + spočíst integrál dle x + pak udělat totéž ve 2D a spočíst integrál dle y.
Ještě se nad tím zamyslím (a pročtu si tam zmiňované články), zda neexistuje lepší způsob...

edit2:
Tak postup "stínovou metodou", jak jej v onom článku nazývají, vlastně vede na něco podobného tomu, co jsem psal v prvním příspěvku. Můj nynější postup:

0) nakreslit si graf množiny $M$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

1) spočítat integrál z f mezi spodek(y,z) a vrsek(y,z)
- a zde se (bohužel?) dostávají ke slovu funkce min a max, a sice
- funkce $spodek(y,z)$ není nic jiného, než funkce $\max(0, \frac{z-2y^2+3ay}{a+y}) := m_1(y,z)$
- funkce $vrsek(y,z)$ zase odpovídá funkci $\min(a, \frac{z-2y^2+2ay+a^2}{y}) := m_2(y,z)$
- dostávám tak funkci $h(y,z) = \big{[}F(x,y,z) \big{]}_{x=m_1(y,z)}^{m_2(y,z)}$
- nyní ještě rozdělíme rovinu $\rho_{yz}$ na části podle toho, kde nabývají funkce $m_1 \text{ a } m_2$ jakých hodnot (zda konstanty anebo alternativy)
- dostávám tak
a) $m_1 = 0 \text{, } m_2 = a$ : $S_1 = \{(y,z) | 0 < y < \frac{a}2, 2y^2 - ay - a^2 < z < 2y^2 - 3ay \}$ , tady označme funkci $h$ jako $h_1(y,z)$
b) $m_1 = 0 \text{, } m_2 \neq a$ : $S_2 = \{(y,z) | 0 < y < \frac{a}2, z < 2y^2 - ay - a^2 \} \cup \{(y,z) | \frac{a}2 < y < a, z < 2y^2 - 3ay \}$ , $h_2(y,z)$
c) $m_1 \neq 0 \text{, } m_2 = a$ : $S_3 = \{(y,z) | 0 < y < \frac{a}2, z > 2y^2 - 3ay\} \cup \{(y,z) | \frac{a}2 < y < a, z < 2y^2 - ay - a^2 \}$ , $h_3(y,z)$
d) $m_1 \neq 0 \text{, } m_2 \neq a$ : $S_4 = \{(y,z) | \frac{a}2 < y < a, 2y^2 - 3ay < z < 2y^2 - ay - a^2\}$ , $h_4(y,z)$
//vlastně to potřebujeme na množině $S$ , takže budeme muset udělat průnik

2) spočítat integrál přes množinu $S$ dle $y$ z funkce(í) získané(ých) v bodě 1)
- snadno nahlédneme, že jsou množiny $S_i, i \in \{1,..,4\}$ po dvou disjunktní
- hledaná funkce $g$ (nebo jak že jsem jí označoval kdysi v prvním příspěvku) je tedy součtem integrálů: $g(z) = \sum_{i = 1}^4 \left( \int_{S \cap S_i} h_i(y,z) dy \right)$
- zbývá proto spočítat tyto čtyři integrály (pro dané $z \in \mathbb{R}$ ):
a) snadno dostaneme, že $S \cap S_1 = S_1 = \{(y,z) | 0 < y < \frac{a}2, 2y^2 - ay - a^2 < z < 2y^2 - 3ay \}$
- z fce $2y^2 - ay - a^2 = z$ máme: $y_{1,2} = \frac{a \pm \sqrt{9a^2+8z}}4$ ; $z> - \frac98a^2$
- fce $2y^2 - 3ay = z$ je na intervalu $y \in (0, \frac{a}2)$ prostá, proto máme: $y = \frac{3a-\sqrt{9a^2+8z}}4$ ; $z< 0$
- z náhledu je patrné, že $g_1(z) = \int_0^{y_3(z)}h_1(y,z)dy \cdot \mathbb{I}_{(z \in (0,-a^2)} + \int_{y_1(z)}^{y_2(z)} h_1(y,z) dy \cdot \mathbb{I}_{z \in (-a^2, -\frac98a^2)}$

(... in progress ...)

Doxxik · 01. 12. 2012 17:55 — Editoval Doxxik (01. 12. 2012 20:59)

Tak už nějakou dobu si tu odpovídám sám a dospěl jsem k otázkám, které bych nebyl rád, kdyby v tom myšmaši výše zapadly. Proto s prominutím založím nový příspěvek jen na otázky. Jsou to:

-> OTÁZKA 1: Nemělo by být v předpise množiny $S$ spíš min a max z předpisů pro "hranice" $z$ , do nichž bych dosadil za $x$ krajní hodnoty, tj. $0$ a $a$ ? (tedy spodní by byla ve tvaru

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

)
//"hranicí" jsem samozřejmě myslel funkce z předpisu původní množiny, $M$ , určující možné hodnoty $z$ v závislosti na $x \text{ a } y$ ..

Moje odpověď: Ano, (bohužel). "Stínem" při promítání do roviny $\rho_{yz}$ bude samozřejmě extrém přes všechny čtyři. Ba co víc, obecně bych potřeboval maximum z maxim těch dvou funkcí přes všechna $x \in (0,a)$ . A obdobně pro minimum. A to vše pro každé $y$ .

Naštěstí (vzhledem k tomu, že jsou funkce (určující meze pro $z$ ) rostoucí na intervalu $x \in (0,a)$ a to pro každé $y \in (0, a)$ ) stačí ale vyšetřovat minimum z těchto dvou funkcí pouze v krajních bodech - tedy minimum v $x=0$ a maximum v $x = a$

Rumburak

↑ Doxxik:

Takže $M^* = \{ [x , y] : 0<x<a; 0<y<a; y < x+a \}$ ?

V tom případě je zde ta třetí nerovnost opravdu zbytečná, takže $M^* = \{ [x , y] : 0<x<a; 0<y<a;\}$

a integrace přes množinu
$M = \{[x, y , z] : 0<x<a; 0<y<a; 2y^2+xy-2ay-a^2 < z <2y^2+xy+ax-3ay\}$
bude v principu jednoduchá (ale v závislosti na integrované funkci $f$ a parameru $a$ ), např.:

$\iiint_M f(x,y,z)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z =\iint_{M^*}$\int_{M(x,y)} f(x,y,z) \,\mathrm{d}z$\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y= \\=\int_0^a \[\int_0^a$\int_{M(x,y)} f(x,y,z) \,\mathrm{d}z$\,\mathrm{d}x\]\,\mathrm{d}y$ ,

kde

$M(x,y) = \{ z ; 2y^2+xy-2ay-a^2 < z <2y^2+xy+ax-3ay\}$ ,

což bude podle hodnoty toho parametru obecně buďto prázdná množina nebo konečné sjednocení jakýchsi intervalů (zde možná pouze
jeden interval). Pořadí integraci dle x, y možno zaměnit.

Brano · 03. 12. 2012 15:14

↑ Rumburak:
Ak to spravne chapem tak vobec neide o to ako spocitat ten trojny integral - ten je "akoze lahky".
Cize ↑ Doxxik: napis prosim co najpresnejsie cele zadanie celeho prikladu.

Totizto ak by to malo byt len toto: Najdite taku funkciu $g(z)$ (a $A,B$ ) pre ktoru plati $\int_A^Bg(z)dz=\iiint_Mf(x,y,z)dz$ .
Tak by sa to dalo vzdy urobit tak, ze by bolo $g(z)=\text{vysledok trojneho integralu}/(B-A)$ co ocividne nechces.

Ak ti ide o to integrovat $f$ po rezoch $[z=\text{konst}]\cap M$ , tak ten tvoj povodny postup je spravne, len si musis dat pozor, ze aby
$\max \left(0, \frac{z-2y^2+3ay}{y+a} \right) < x < \min \left( a , \frac{a^2 - 2y^2+2ay + z}{y} \right)$
malo zmysel, tak musi platit
$\max \left(0, \frac{z-2y^2+3ay}{y+a} \right) < \min \left( a , \frac{a^2 - 2y^2+2ay + z}{y} \right)$
co ti doda nejaku podmienku.

UPOZORNENIE: nekontroloval som vypocty iba myslienku, tak dufam, ze som nieco podstatne neprehliadol.

Matematické Fórum

#1 30. 11. 2012 16:41 — Editoval Doxxik (30. 11. 2012 19:40)

záměna integračních proměnných

#2 30. 11. 2012 17:01 — Editoval Rumburak (30. 11. 2012 17:11)

Re: záměna integračních proměnných

#3 30. 11. 2012 20:09 — Editoval Doxxik (04. 12. 2012 08:17)

Re: záměna integračních proměnných

#4 01. 12. 2012 17:55 — Editoval Doxxik (01. 12. 2012 20:59)

Re: záměna integračních proměnných

#5 03. 12. 2012 10:32 — Editoval Rumburak (03. 12. 2012 10:35)

Re: záměna integračních proměnných

#6 03. 12. 2012 15:14

Re: záměna integračních proměnných

Zápatí