Matematické Fórum

ajeto · 04. 12. 2012 02:21

Dobrý večer,

riešim nasledujúce:

Dokážte, že predpisom $f(\bar{x})=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n x_n}{\sqrt{(n+1)!}}$ je definovaný ohraničený lineárny funkcionál na priestore

$l^2:=\{\bar{x}=(x_1,x_2,\dots)\,\,\bigg|\,\,x_i \in \mathbb{C}\,\, \forall i\in\mathbb{N}\,,\, \sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^2<\infty\}$ a nájdite jeho normu.

Lineárnosť je ok, ohraničenosť som našil na skalárny súčin $\langle x,y \rangle =\sum_{n=1}^{\infty} x_n \bar{y_n}$ :

postupnosť $a:=(a_1,a_2,\dots)\,,\,a_n=\frac{3^n}{\sqrt{(n+1)!}}$ zrejme patrí do $l^2$ ,

lebo rad $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|^2$ mi vyšiel ako konvergentný d'Alembertovým kritériom,

takže mám $|f(\bar{x})|=|\langle x,a \rangle|\leq \sqrt{\langle x,x \rangle}\sqrt{\langle a,a \rangle}=\|x\|.\|a\|$ .

Horšie je to s tou normou, ohraničenie funkcionálu číslom $\|a\|$ sa mi nezdá ako vyhovujúce,
tipol by som že to bude $\max_{n \in \mathbb{N}} a_n$ , ale neviem ako sa k tomu korektne dostať ak je to tak .

Vďaka za návrhy

Rumburak

↑ ajeto:
Ahoj.

Vyšel bych ze vztahu $f(\bar{x}) = \langle \bar{x} , \bar{a}\rangle$ .

Je-li $||\bar{x}|| = 1$ , dostáváme z Cauchyovy nerovnosti $|f(\bar{x})| \le ||\bar{a}||$ .

Za speciální $\bar{x}$ můžeme vzít $\frac{\bar{a}}{||\bar{a}||}$ a tím dokážeme rovnost pro tento případ.

Ještě dodám, že "supremová" norma $\sup_{n \in \mathbb{N}} |a_n|$ funkcionálu by měla souvislost s jiným prostorem než je $l^2$ .

ajeto · 04. 12. 2012 13:34

↑ Rumburak:

áno, pravda
to s tým maximom som nemyslel ako suprémovú normu,
len sa mi zdalo že ohraničenie $\|a\|$ nemusí byť najmenšie horné ohraničenie,
čo ako je teraz vidno, bola chybná úvaha

ďakujem

Matematické Fórum

#1 04. 12. 2012 02:21

norma funkcionálu

#2 04. 12. 2012 09:59 — Editoval Rumburak (04. 12. 2012 12:08)

Re: norma funkcionálu

#3 04. 12. 2012 13:34

Re: norma funkcionálu

Zápatí