Matematické Fórum

macher1 · 04. 12. 2012 16:23

Dobrý večer. Neviem si dať rady pri integrovaní tejto racionálnej funkcie.
$\int_{}^{}\frac{4x^{3}-15x+14}{2x^{2}+5x-3}dx$
Po vydelení čitateľa menovateľom som dostal výraz
$2x-5+\frac{16x-1}{2x^{2}+5x-3}$
Potom som začal integrovať a dostal som sa potadiaľto
$\int_{}^{}2x-5+\int_{}^{}\frac{16x-1}{2x^{2}+5x-3}dx = 2\int_{}^{}x-5+\int_{}^{}\frac{16x-1}{2x^{2}+5x-3}$
To mi ďalej vyšlo
$x^{2}-5x+\int_{}^{}\frac{16x-1}{2x^{2}+5x-3}dx$
A neviem čo s tým druhým integrálom. Prosím váš, pomôže mi niekto?
Vopred vďaka.

rleg · 04. 12. 2012 17:45 — Editoval rleg (04. 12. 2012 23:06)

↑ macher1:

Ahoj
dokážeš už tenhle tvar rozložit na parciální zlomky?

$\frac{2x^{2}}{2}-5x+\int_{}^{}\frac{16x-1}{2\cdot $x+3$$x-\frac12$}dx$

macher1

Hmm myslím že áno. Počítal som takto:
$\frac{16x - 1}{2(x+3)(x-\frac{1}{2})}=\frac{16x - 1}{(x+3)(2x-1)}= \frac{A}{(x+3)}+\frac{B}{(2x-1)}$
Po prenásobení menovateľom som dostal
$A(2x-1)+B(x+3) = 2Ax-A+Bx+3B$
$16=2A+B; -1=-A+3B$
Čiže 16 = 2A + B a -1= -A + 3B. Z toho som dostal
A = 7
B = 2
a pokračoval som v integrovaní
$\frac{2x^{2}}{2}-5x+7\int_{}^{}\frac{1}{(x+3)}dx+\int_{}^{}\frac{2}{(2x-1)}dx$
pričom v druhom integrály som dvojku naschvál nedal pred integrál, pretože čitateľ je deriváciou menovateľa.
A výsledok mi vyšiel
$x^{2}-5x+7ln|x+3|+ln|2x-1|+c$
Je to správne?