Matematické Fórum

RePRO · 04. 12. 2012 17:01

Zdravím,
tento paradox je fakt nevysvětlitelný. Máme jednu kouli v prostoru – dá se rozsekat na kousky, které se pak dají zpátky složit tak, že vzniknou dvě koule.

Každá z těch dvou koulí má stejný objem jako koule původní, a přitom jsme žádné kousky nepřidali ani nesebrali (nezlobte se, pokud jsem tento příspěvek špatně usadil, díky).

Co kdybychom chtěli rozsekat kouli v prostoru o nekonečném objemu?

Brano · 04. 12. 2012 17:25

RePRO napsal(a):
...
Co kdybychom chtěli rozsekat kouli v prostoru o nekonečném objemu?

V $\mathbb{R}^3$ existuje jedina gula s nekonecnym objemom a to cele $\mathbb{R}^3$ , alebo si mal na mysli nejaky iny priestor?

Mozes ju napriklad nasekat a naskladat tak, ze pokryjes cely priestor 2x, avsak uzasnost alebo trivialnost tohoto tvrdenia zavisi od toho, ake podmienky kladies na to "sekanie" a "presuvanie".

Rumburak

↑ RePRO:

Ahoj.

netuším, co máš o tom nastudováno, tak se omlouvám, napíši-li zde něco, co pro Tebe bude už banalitou.

Intuice nám říká, že pro dvě disjunktní omezené podmnožiny $A , B$ trojrozměrného eukleidovského prostoru opatřeném
objemovou mírou $V$ by mělo platit $V(A\cup B) = V(A) + V(B)$ , např. dvě vedle sebe položené krychle
zaujímají společně stejný objem, jako je součet objemů těchto krychlí (tuto představu lze snadno zobecnit i na spočetné
sjednocení disjunktních množin).

Příslušná věta v matematice platí, avšak jejím předpokladem je, že objemy množin $A, B$ jsou definovány. Platí totiž
i jiná věta (dokazatelná pomocí axiomu výběru), která shruba říká, že má-li objemová míra mít "rozumné" vlastnosti,
tj. respektovat klasicky definované objemy geometrických těles, spočetná sjednocení disjunktních množin a geometrická
přemísťování množin, potom do jejího definičního oboru nemohou patřit úplně všechny podmnožiny prostoru, tj. nutně v něm
existují tzv. neměřitelné množiny (vedle množin měřitelných, jejichž oběm definovat lze).

Když tedy měřitelnou množinu $M$ disjunktně rozdělíme např. na několik neměřitelných množin $X_i$ a z nich se nám
podaří jejich přemístěním disjunktně poskládat nějakou množinu $N$ , která už bude zase měřitelná, může se stát, že
dojdeme k "paradoxu" $V(M) \ne V(N)$ , který v uvedených souvislostech už jako paradox ani příliš nevypadá .

Brano · 05. 12. 2012 17:55

↑ Rumburak:
Druha moznost je nasekat ten objekt na prilis vela kuskov, ktore mozu byt aj meratelne. Napriklad mozme zobrat interval $[0,1]$ , nasekat ho na jednotlive body a kazdy bod posunut doprava $x\mapsto f_x(x)=x+x$ . Cize takto vyskladame interval $[0,2]$ ktory ma dvojnasobny objem, pricom sme pouzivali iba posunutia, ktore zachovavaju objem, problem nastal v tom, ze sme posuvali viac ako spocitatelne vela bodov (kuskov povodnej mnoziny) a funkcia objemu (t.j. miera) je iba $\sigma$ -aditivna.