Matematické Fórum

unga · 28. 11. 2012 12:20

Dobrý den,
potřeboval bych poradit s chybou u Taylorova polynomu.
Mán polynom 4. řádu v nule. $f(x)=e^{2x+1}\cdot \sin(5x)+6$ a mám najít chybu v bodě $\frac{\pi }{6}$
Pátá derivace vyjde $e^{2x+1}\cdot(4282\sin(5x)-1475\cos(5x))$
Ted ale shledávám trochu problém v dosazení do $R_{5}=\frac{f^{5}(c)}{5!}\cdot x^{5}$
Za x dosadím $\frac{\pi }{6}$ a za c taky protože je to vzdálenost od 0 do $\frac{\pi }{6}$ . Pak mi ale vychází že chyba je velká asi jako polovina hodnoty Taylorova polynomu v tomto bodě, což určitě dobře nebude.

jelena · 28. 11. 2012 21:30

↑ unga:

Zdravím,

trošku jsem opravila Tvůj zápis (malá písmena u sin, cos, pi). Máš tedy zadáno polynom v $x_0=0$ , pomocí kterého jsi vypočetl hodnotu v $x=\frac{\pi }{6}$ Tak?
Potom při odhadu zbytku potřebuji zvolit číslo c z intervalu od 0 do pi/6 a do vzorce $R_{5}=\frac{f^{5}(c)}{5!}\cdot (x-x_0)^{5}$ dosadím za $x=\frac{\pi }{6}$ , $x_0=0$ , $c=0$ .

Jinak můžeš si nechat vykreslit původní funkci a sestavený polynom ve WA (a překontrolovat v MAW). Hodnota pi/6 je ještě blízko 0, kde exponenciála "nedokáže" ještě být pořádně rozkmitána sinusoidou (alespoň tak si to představuji). A podívat se, jak chyba vypadá, případně se ještě ozvi, zda to souhlasí s výpočtem.

unga · 05. 12. 2012 00:57 — Editoval unga (05. 12. 2012 00:59)

↑ jelena:
Tak nevychází ani jedno. Chyba má být 0.682348. Když za c dosadím nulu vychází -1.3.. Hlavně by mě zajímalo proč tam nemám dosadit to pi/6. Logicky bych tam dal určitě alespon něco větší, ale určitě ne menší, protože pak si vlastně změnšuju tu reálnou chybu,naopak to až tak nevadí.

jelena · 05. 12. 2012 11:02

↑ unga:

já jsem si jen představila (zřejmě chybně), že ve zbytku pokračuji dosazováním stejných hodnot, jako v celém polynomu + moje představa o chování původní zadané funkce. Pokud použiji maximální odhad, potom extrémy 5. derivace jsou tak (extrémy jsou nalezitelné také ručně).

Raději to přenechám kolegům, zda se mi, že moc přemýšlím, to nepovede nikam. Kolegům děkuji.

Matematické Fórum

#1 28. 11. 2012 12:20

Lagrangeův zbytek

#2 28. 11. 2012 21:30

Re: Lagrangeův zbytek

#3 05. 12. 2012 00:57 — Editoval unga (05. 12. 2012 00:59)

Re: Lagrangeův zbytek

#4 05. 12. 2012 11:02

Re: Lagrangeův zbytek

Zápatí