Matematické Fórum

altair · 05. 12. 2012 18:36

Dobrý den,
Potřeboval bych pomoct se zřejmě pohybovou úlohou, není mi znám princip řešení, ale odhaduji že jde o to sestavit 2 rovnice...

Z města M do města N vyjel v 6 hodin ráno cyklista. Po 20 minutách se za ním vydal stejnou rychlostí 2. cyklista. Chodec, který šel z N do M, vykročil v 6:40h. Po 9 minutách potkal prvního cyklistu a 18 minut nato druhého cyklistu.
vzdálenost obou měst je 30 km. Určete (stálé) rychlosti cyklistů a chodce.

jelena · 05. 12. 2012 20:12

Zdravím,

pokud pozorně přečteš jednotlivé údaje o časech, je možné pro každého účastníka úlohy zapsat jak dlouho byl na cestě do setkání (v hodinách). Další část úlohy na společné překonání vzdálenost mezi městy, tedy:

s(cyklisty1)+s(chodec do setkání s cyklistou 1)=30
s(cyklisty2)+s(chodec do setkání s cyklistou 2)=30

Rychlosti cyklistů jsou stejné, tedy úloha má 2 neznámé - rychlost cyklisty a rychlost chodce. Stačí tak na úvod? Děkuji.

altair · 05. 12. 2012 20:49

↑ jelena:
Ale pokud rychlosti cyklistů jsou stejné, a označím si rychlost cyklisty x a rychlost chodce y, vyjdou mi 2 rovnice x+y=30 ne?
Děkuji za odpověď

jelena · 05. 12. 2012 20:56

↑ altair:

nalevo máš součet rychlostí, napravo vzdálenost mezi městy. Nalevo musí být také vzdálenost (tedy dráha dle vzorce s=vt). Sleduji, že úlohy o pohybu jsou i Youtube.

Podařilo se zapsat časy na cestě pro každého účastníka? Děkuji.

Cheop · 06. 12. 2012 08:22 — Editoval Cheop (06. 12. 2012 14:38)

↑ altair:
x - rychlost cyklistů
y - rychlost chodce
V obou případech budeme požívat vztah: $s=v\cdot t$ kde: s = dráha, v= rychlost, t = čas
V prvním i druhém případu musí cyklista a chodec dohromady překonat vzdálenost míst tj. 30 km (pohybují se proti sobě)

Pro případ prvního cyklisty

Ze zadání je jasné, že než se potkali:
a) cyklista byl na cestě 40 minut a 9 minut = 49 minut(vyjel o 40 minut dřív než vyšel chodec a pak ještě jel 9 minut společně s chodcem)
b) chodec byl na cestě 9 minut
c) oba dohromady urazili 30 km
Rovnice:
$\frac{49x}{60}+\frac{9y}{60}=30$

Pro případ druhého cyklisty:

Ten vyrazil o 20 minut později než první cyklista tj.
a) cyklista byl na cestě 20 minut a 27 minut =47 minut(vyjel o 20 minut dřív než vyšel chodec a pak ještě 9+18 minut společně s chodcem)
b) chodec byl na cestě 27 minut (9+18)
c) oba dohromady urazli 30 km
Rovnice:
$\frac{47x}{60}+\frac{27y}{60}=30$
Máme tedy 2 rovnice a 2 neznámé:
$\frac{49x}{60}+\frac{9y}{60}=30\\\frac{47x}{60}+\frac{27y}{60}=30$

Pro řešení soustavy bych doporučoval:

1) Odečíst druhou rovnici od první rovnice
2) Z toho vyjádřit x pomocí y
3) Toto dosadit do jedné z rovnic a vypočítat y
4) Dopočítat x ze vztahu z bodu 2)
Mělo by ti vyjít: