Matematické Fórum

Lukáš Ba-mat-fyz · 06. 12. 2012 00:09

Ahojte mám problém s príkladom $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty } \frac 1 {1+n^{2}x}$ a mám zistiť:

a) pre ktoré x konverguje absolutne
b)na akých intervaloch konverguje rovnomerne?
c)je f spojitá kdekolvek postupnosť konverguje?
d)je f ohraničena?

Prosím veľmi mi to pomôže, bodová limita je 0 to nie je ťažké ukázať, f(0)=1 a derivácia mi ohľadom supréma moc neukázala,lebo mi vyšla $\frac{1+n^{2}}{(1+n^{2}x)^{2}}$ čo nie je ťažké zderivovať ale táto derivácia je stále kladná čiže mi to stále rastie a neviem s tým nejako ani pohnuť tak prosím vás pomôžte mi nejako

ďakujem

Bati · 06. 12. 2012 09:24

Ahoj,
je celkem jasné, že problém bude v okolí nuly. Když si např. zvolíš posloupnost $x_n=\frac1{n^2}$ , dostaneš divergentní řadu, takže bude třeba to od nuly nějak odrazit. Derivaci máš špatně, je to $\frac{-n^2}{(1+n^2x)^2}$ , což je vždy záporné číslo, takže funkce $\frac 1 {1+n^{2}x}$ je klesající všude, kde je definovaná, což jsou všechna reálná čísla, kromě bodu $x=\frac{-1}{n^2}$ .
Na intervalu $[\varepsilon,\infty)$ je to jasné : $\left|\frac 1 {1+n^{2}x}\right|\leq\frac1{1+n^2\varepsilon}$ a použiješ Weirstrasse.
Na intervalu $(-\infty,-\varepsilon]$ je třeba zvolit $n_0$ takové, aby $\forall n>n_0:\frac{-1}{n^2}>-\varepsilon$ , což jistě lze a na prvních $n_0$ členech řady nezáleží. Potom platí odhad, že $\left|\frac 1 {1+n^{2}x}\right|\leq\frac1{n^2\varepsilon-1}$ a opět použiješ Weirstrasse.

Matematické Fórum

#1 06. 12. 2012 00:09

rovnomerna konvergencia

#2 06. 12. 2012 09:24

Re: rovnomerna konvergencia

Zápatí