Matematické Fórum

Ospli · 06. 12. 2012 14:47

Ahoj,
nevíte, jestli je znám tento součet?
$\sum_{k}^{\infty }\sqrt[k]{c}-1$

Brano · 06. 12. 2012 15:32

Suma diverguje, ale neviem to zdovodnit nejak moc stredoskolsky.
Predpokladajme $c>1$ a oznacme $\sqrt[k]{c}=x$ . Potom pre lubovolne $0\le i\le k$ plati $1\le x^i\le c$ a teda $1+x+x^2+...+x^{k-1}\le ck$ a dostaneme
$\sqrt[k]{c}-1=\frac{c-1}{1+x+x^2+...+x^{k-1}}\ge \frac{c-1}{c}\cdot\frac{1}{k}$
a kedze $\sum\frac{1}{k}=\infty$ (znamy harmonicky rad - da sa to overit napr. integralnym kriteriom) tak aj povodny rad ma sucet $\infty$ .

Pre $0\le c<1$ sa podobne dokaze, ze vysledok je $-\infty$ . A pre $c<0$ to nie je dobre definovane.