Matematické Fórum

Hertas · 06. 12. 2012 18:41

ahoj, mohl by mě prosím někdo nakopnout jak na to?

"Dokažte matematickou indukcí, že počet úhlopříček v n-úhelníku je n(n-3)/2"

BakyX · 06. 12. 2012 18:50

Ahoj.

Najmenší prípad $n=3$ je jasný.

Teraz predpokladajme, že n-uholník má n(n-3)/2 uhlopriečok.

Spočítame, koľko uhlopriečok má n+1-uholník a to tak, že ho uhlopriečkou rozdelíme na n-uholník a trojuholník, kde môžme použiť indukčný predpoklad.

Hertas · 06. 12. 2012 19:03

diky moc :)

Arabela · 06. 12. 2012 19:09

Ahoj ↑ Hertas:,
ukážme matematickou indukciou, že pre $n\ge 4$ platí pre počet uhlopriečok v konvexnom n-uholníku $p_{n}=\frac{n(n-3)}{2}$ .
$1^\circ$
Pre n=4 tvrdenie zjavne platí, $p_{4}=\frac{4(4-3)}{2}=2$ , čo je naozaj splnené.
$2^\circ$
Predpokladajme, že tvrdenie platí pre nejaké prirodzené číslo n=k (indukčný predpoklad). Ukážeme, že potom dané tvrdenie musí platiť aj pre n=k+1.
Uvažujme ľubovoľný konvexný (k+1)-uholník. Vezmime ľubovoľné tri jeho po sebe nasledujúce vrcholy, nech sú to napr. X, Y, Z. QAk si "odmyslíme" vrchol Y a body X,Z spojíme úsečkou, dostaneme akýsi konvexný k-uholník. Každá uhlopriečka v ňom je aj uhlopriečkou v pôvodnom (k+1) uholníku. Týchto uhlopriečok je $p_{k}=\frac{k(k-3)}{2}$ . Avšak, aj samotná úsečka XZ je uhlopriečkou v uvažovanom (k+1)-uholníku; navyše (k+1)-uholník obsahuje aj uhlopriečky vychádzajúce z bodu Y (tých je zjavne k-2, keďže spojnice YX, YZ sú stranami (k+1)-uholníka).
Platí teda:
$p_{k+1}=p_{k}+1+(k-2)$ .
Ďalej stačí využiť indukčný predpoklad a urobiť niekoľko triviálnych úprav...
Stačí takto?

Matematické Fórum

#1 06. 12. 2012 18:41

matematická indukce

#2 06. 12. 2012 18:50

Re: matematická indukce

#3 06. 12. 2012 19:03

Re: matematická indukce

#4 06. 12. 2012 19:09

Re: matematická indukce

Zápatí