Matematické Fórum

Meglun · 07. 12. 2012 01:07 — Editoval Meglun (07. 12. 2012 01:33)

Ahoj, mam tu limitku $\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\text{tg}(2x)\text{tg}(\frac{\pi}{4}-x)$
zjistil jsem si, že se tangens v $\frac{\pi}{4} = 1$
a proto musim rovnici upravit.
V řešení je napsané toto ale nejsem z toho moc moudrý
Zaveďte pomocnou neznámou $x=t^3$ , odstraňte $(x-1)$ a nahraďte spojitou funkcí...
První krok je trivialní, ale k druhému jsem se nedopracoval

Rumburak · 07. 12. 2012 09:23

↑ Meglun:
Ahoj, nepatří ten návod k jiné úloze ?

Já bych doporučoval substituci $\frac{\pi}{4} - x= y \to 0$ . Zároveň bude $\text{tg}(2x) = \text{tg}$\frac{\pi}{2}-2y$ = \text{cotg}(2y)$ a

$\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\text{tg}(2x)\text{tg}$\frac{\pi}{4}-x$ = \lim_{y\to 0} \text{cotg}(2y)\, \text{tg}\,y$ ,

kde pokračujeme vyjádřením funcí tg , cotg pomocí sin, cos a dále použijeme vzorec sin 2y = ... ,
po vykrácení zlomku výrazem sin y dostaneme funkci spojitou v 0.

Meglun · 07. 12. 2012 10:22 — Editoval Meglun (07. 12. 2012 10:41)

↑ Rumburak:
nechapu tu supbstituci. $\frac{\pi}{4}-x$ mam v predpisu fce a ${y\to0}$ do predpisu nepatri ...nebo ja nevim jak je to mysleno

Rumburak

Substituce proměnné v limitě se provádí podle věty o limitě složené funkce:

Uvažujeme-li funkci $y(x) := \frac{\pi}{4} - x$ , pak $x= \frac{\pi}{4} - y(x)$ , takže

$\text{tg}(2x)\text{tg}$\frac{\pi}{4}-x$ = \text{tg}$2\(\frac{\pi}{4} - y(x)$\)\text{tg}\,y(x) =\text{tg}$\frac{\pi}{2} - 2y(x)$\text{tg}\,y(x) = \text{cotg}$2y(x)$\text{tg}\,y(x)$ ,

tudíž triviálně

(1) $\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\text{tg}(2x)\text{tg}$\frac{\pi}{4}-x$ = \lim_{x\to\frac{\pi}{4}} \text{cotg}$2y(x)$\text{tg}\,y(x)$

(zatím jsme původní limitu jen přepsali s použítím symbolu $y(x)$ a známé goniometrické úpravy).

Nyní si uvědomíme, že $y(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4}$ a $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} y(x) = 0$ , takže podle věty o limitě složené funkce bude

$\lim_{x\to\frac{\pi}{4}} \text{cotg}$2y(x)$\text{tg}\,y(x) = \lim_{y\to 0} \text{cotg}$2y$\text{tg}\,y$ ,

pokud pravá strana této rovnosti má smysl. Pokud tedy spočteme limitu vpravo, bude tím zároveň spočtena limita vlevo.
A limitu vpravo lze spočítat už celkem pohodlně (viz mé další nápovědy v předchozím příspěvku).