Matematické Fórum

Bernyska · 05. 12. 2012 10:08

Prosím o radu při sestavování dif. rovnic u těchto příkladů
1) rychlost tečení vody v řece ${u}$ narůstá lineárně z 0 na okrajích po rychlost ${v_{0}}$ ve středu řeky. napříč řekou se pohybuje loď konstantní rychlostí ${v}$ . najděte trajektorii lodě.
2) jeden z prvních modelů volného pádu byl založený na předpokladu, že rychlost pádu tělesa je přímo úměrná uražené dráze ${v=ks}$ . ukažte, že tento model je teoreticky sporný.
3)najděte, vzletovou hmotnost jednostupňové rakety, která má vynést do vesmíru těleso o hmotnosti ${M_{0}=500 kg}$ , přičemž po vyhoření paliva má dosáhnout konečné rychlosti ${v_{1}=8 km/s}$ . Rychlost unikání plynu z motoru vhledem k raketě je ${u=2km/s}$ při řešení zanedbejme atmosféru Země a předpokládejme, že hmotnost konstrukce rakety představuje $\textit{10}\%$ hmotnosti paliva.
4) chceme bruslit , avšak místní jezero ještě není zamrzlé. Situace se zlepší, když teplota přízemní vrstvy atmosféry klesne na -5stupňů Celsia a povrchová vrstva vody v jezeřa ochladne na 0stupňů Celsia. jak dlouho bude trvat než se na jezeře utvoří vrstva ledu 10cm, za předpokladu, že teplota vzduchu se měnit nebude.
děkuji

lemonico · 05. 12. 2012 17:37

Byl bych také moc rád, kdyby s tématem někdo pomohl.

zdenek1 · 07. 12. 2012 14:13

↑ Bernyska:
1)
Zvolíme soustavu jako na obrázku, šířka řeky bude $2d$

podle zadání bude rychlost $u(x)=\begin{cases}u=\frac xdv_0\qquad x\in\langle0;d\rangle\\ u=2v_0-\frac xdv_0 \quad x\in\langle d;2d\rangle\end{cases}$ (1)

loď se ve směru $x$ pohybuje rovnoměrně, takže
$x=vt$ .
dosazením do (1)
$u(t) = \frac{vv_0}dt$ v první části a
$u(t) = 2v_0-\frac{vv_0}dt$ ve druhé části.

platí: $y=\int u(t)\,\text dt$ , což dává
pro první část
$y=\int \frac{vv_0}dt\,\text dt=\frac{vv_0}{2d}t^2+C$
Vzhledem k tomu, že v čase $t=0$ je $y=0$ je $C=0$
$y=\frac{vv_0}{2d}t^2=\frac{v_0}{2vd}x^2$ (2)
Ve druhé části
$y=\int 2v_0-\frac{vv_0}dt\,\text dt=2v_0t-\frac{vv_0}{2d}t^2+C$
V čase $t=\frac dv$ (tj. když je loď uprostřed řeky) je podle (2) $y=\frac{v_0d}{2v}$
Pro integrační konstantu dostáváme
$\frac{v_0d}{2v}=2v_0\frac dv-\frac{vv_0}{2d}\left(\frac dv\right)^2+C$
$C=-\frac{v_0d}{v}$
Takže $y=2\frac{v_0}vx-\frac{v_0}{2dv}x^2-\frac{v_0d}{v}$ pro druhou část
V připojeném grafu je
$v_0=2\ \text{m/s}$
$v=1\ \text{m/s}$
$d=10\ \text{m}$

zdenek1 · 07. 12. 2012 14:23

↑ Bernyska:
2)
Soustava souřadnic jako na obrázku

podle zadání je $v=k(y_0-y)$
tj. $\frac{\text{d}y}{\text{d}t}=k(y_0-y)$
$\int \frac{\text{d}y}{y_0-y}=k\int\text{d}t$
$-\ln (y_0-y)=kt+C$
V čase $t=0$ je $y=y_0$ , takže $C=-\ln (y_0-y_0)$
a to je teda dost průšvih.