Matematické Fórum

dobes.pavel · 04. 12. 2012 21:43

Mám daný příklad:
určete těžiště křivky:
$x=a\cdot cos^{3}t$
$y=a\cdot sin^{3}t$
mezi body: $A=[0,a]$ $B=[a,0]$
když hustota křivky se rovná x-ové souřadnici v každém jejím bodě

Potřebuju poradit jaké budou meze pro křivkový integrál

A dále bych se chtěl zeptat, zda se to bude počítat takhle:
$m=\int_{k}^{}xds$
$Sx=\int_{k}^{}y\cdot xds$
$Sy=\int_{k}^{} x\cdot xds$
kde m je hmotnost a Sx,y jsou statické momenty vhledem k osám

Díky za odpověď

Rumburak

Pro lepší pochopení fyzikální problematiky posílám odkaz .
Tam se ale pracuje s konstantní hustotou, proto v našem případě nutno rovnici

$\int_{k}(X-T) \,\mathrm{d}s = 0$

nahradit obecnější rovnicí

$\int_{k}(X-T) \,\varrho(X)\,\mathrm{d}s = 0$

s hustotou $\varrho(X)$ v bodě $X$ .

Důležité je mít jasno v přesném parametrickém vyjádření toho oblouku včetně intervalu $[t_A, t_B]$ omezujícího průběh parametru.
Čísla $t_A, t_B$ vypočteš z rovnic

$A=[0,a] = [a\cdot cos^{3}t_A , a\cdot sin^{3}t_A]$ , $B=[a,0] = [a\cdot cos^{3}t_B , a\cdot sin^{3}t_B]$ .

Ne všechny dvojice řešení budou vyhovovat, bude potřeba se nad tím ještě "selsky" zamyslet a vybrat si nějakou vhodnou.

Pak standardním způsobem převedeš křivkové integrály na integrály jednorozměrné přes interval $[t_A, t_B]$ .

dobes.pavel · 05. 12. 2012 12:13

takže parametr pro křivku mi vychází:
$\langle\pi /2,0\rangle$
nebo:
$\langle\pi /2,2\pi \rangle$
co z toho mám použít ve výpočtu?
budou se statické momenty a hmotnost počítat podle toho, jak jsem uvedl v prvním příspěvku?

Rumburak · 05. 12. 2012 15:39

↑ dobes.pavel:

Asi spíše $\langle 0, \pi /2\rangle$ než $\langle\pi /2,0\rangle$ .

Ano, jde o dva oblouky uzavřené křívky, takže v úloze by mělo být specifikováno, o který z nich jde.

Ty integrály, které uvádíš, se při výpočtu uplatní. Jakým způsobem, to zjistíš rozepsáním rovnice

$\int_{k}(X-T) \,\varrho(X)\,\mathrm{d}s = 0$

podle jednotlivých souřadnic: tímto krokem dostaneme dvě rovnice, a sice

$\int_{k}(x-x_T) \,\varrho(x, y)\,\mathrm{d}s = 0 , \int_{k}(y-y_T) \,\varrho(x, y)\,\mathrm{d}s = 0$ ,

kde $x_T, y_T$ jsou hledané souřadnice těžiště.

dobes.pavel · 05. 12. 2012 19:20

ano je to upřesněno pro $a>0$
potom se dopracuju k diferenciálu:
$ds=3a\cdot cos^{2}t\cdot sin^{2}tdt$

integrál pro hmotnost:
$m=\int_{0}^{\pi /2}3a^{2}\cdot cos^{5}t\cdot sin^{2}tdt$

pro statické momenty:
$Sx=\int_{0}^{\pi /2}3a^{3}\cdot cos^{5}t\cdot sin^{5}tdt$
$Sy=\int_{0}^{\pi /2}3a^{3}\cdot cos^{8}t\cdot sin^{2}tdt$

pro každý integrál dostanu číslo, pak vypočítám jednotlivé souřadnice těžiště podle:
$x_{T}=Sy\setminus m$
$y_{T}=Sx\setminus m$

přesto mi vyjdou jiné výsledky než jsou uvedeny ve studijních oporách pro VŠB
integrály jsou vypočítány dobře (kontrola pomocí wolphramalpha), tak kde tedy dělám chybu?
napadá mě jen při samotném sestavení integrálů

děláno podle (strana 248):
http://www.studopory.vsb.cz/studijnimat … _obsah.pdf
díky za odpověď

Rumburak

↑ dobes.pavel:
Metoda je, zdá se, správně, později to mohu ještě přepočítat. Jak už jsem naznačil, mohlo by zde být nedorozumění
ve volbě oblouku . Necháme-li totiž parametr křivky probíhat celý interval $\langle 0 , 2\pi \rangle$ , dostaneme uzavřenou křivku
(jakousi symetricky deformovanou kružnici se středem v počátku) a zadáním jejích dvou různých bodů máme dva oblouky.

Rumburak

↑ dobes.pavel:

Podezřelý je mi výpočet toho diferenciálu oblouku. Počítáme křivkový integrál prvního typu, takže bude

$\mathrm{d}s = \sqrt{$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$^2 + $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$^2} \,\mathrm{d}t = 3a \sqrt{\cos^4x + \sin^4x} \,\mathrm{d}t$ EDIT. TOTO JE TAKÉ ŠPATNĚ.

Mělo být
$\mathrm{d}s = \sqrt{$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$^2 + $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$^2} \,\mathrm{d}t = \sqrt{(3a \cos^2t\, (-\sin t))^2 +(3a \sin^2t\, \cos t)^2} \,\mathrm{d}t= \\ = ... = \sqrt{9a^2 \cos^2t\,\sin^2t} = 3a\,|\cos t \, \sin t\, |$ .

dobes.pavel · 07. 12. 2012 09:41

no jo máš pravdu, problém je v tom diferenciálu, přepočítám to teda s jiným diferenciálem

dobes.pavel · 07. 12. 2012 15:28

u toho diferenciálu má být správně sinus cosinus jen na prvou
teď už mi to vychází dobře

Rumburak

↑ dobes.pavel:

Jak vidím, tak já jsem ten diferenciál také spočítal špatně. Omlouvám se.

Matematické Fórum

#1 04. 12. 2012 21:43

Těžiště křivky

#2 05. 12. 2012 09:55 — Editoval Rumburak (05. 12. 2012 10:18)

Re: Těžiště křivky

#3 05. 12. 2012 12:13

Re: Těžiště křivky

#4 05. 12. 2012 15:39

Re: Těžiště křivky

#5 05. 12. 2012 19:20

Re: Těžiště křivky

#6 06. 12. 2012 10:35 — Editoval Rumburak (06. 12. 2012 10:37)

Re: Těžiště křivky

#7 06. 12. 2012 11:35 — Editoval Rumburak (07. 12. 2012 16:03)

Re: Těžiště křivky

#8 07. 12. 2012 09:41

Re: Těžiště křivky

#9 07. 12. 2012 15:28

Re: Těžiště křivky

#10 07. 12. 2012 15:45 — Editoval Rumburak (07. 12. 2012 16:02)

Re: Těžiště křivky

Zápatí