Matematické Fórum

teutates · 07. 12. 2012 16:22

Ahoj. potreboval bych pomoci s tou rovnici.

Jedine co mne napadlo bylo sestavit si charakteristickou rovnici ale jeji diskriminant je zaporny. Jak se ma tato rovnice resit?

Brano · 07. 12. 2012 16:58

Tu je to uplne polopate.
http://www.youtube.com/watch?v=DJO6ilwbWiI

Rumburak

Ahoj.

v případě záporného diskriminantu charakteristické (kvadratické) rovnice budou její kořeny imaginární, vyjádřitelné
v algebraickém tvaru $\lambda_{1,2} = \alpha \pm \beta\,\mathrm{i}$ . Funkce

(1) $\mathrm{e}^{\lambda_1\,x} , \mathrm{e}^{\lambda_2\,x}$

i nyní tvoří fundamentální systém příslušné dif. rovnice a lze s ním pracovat, jako kdyby charakteristická čísla byla reálná.
Je zde jediný drobný háček - funkce (1) nabývají i pro reálná $x$ imaginárních hodnot, což je poněkud nepohodlné, zejména
v případech, kdy nás zajímají pouze reálná řešení dif. rovnice. K tomu účelu si ze systému (1) vyrobíme "reálný" fundamentální
systém takto:

$\mathrm{e}^{\lambda_{1,2}\,x} = \mathrm{e}^{( \alpha \pm \beta\,\mathrm{i})\,x} = \mathrm{e}^{\alpha x} \mathrm{e}^{\pm \beta\,\mathrm{i}\,x} =\mathrm{e}^{\alpha x}(\cos \beta x \pm\mathrm{i} \sin \beta x) = \mathrm{e}^{\alpha x}\cos \beta x \pm \mathrm{i}\, \mathrm{e}^{\alpha x} \sin \beta x$ .

Dá se ukázat, že funkce

$\mathrm{e}^{\alpha x}\cos \beta x , \mathrm{e}^{\alpha x}\sin \beta x$

představují rovněž fundamentální systémem téže DR a jde již o reálné funkce reélné proměnné. (Všechna komplexní řešení
té DR bychom dostali jejich lineárními kombinacemi s komplexními koeficienty.)

teutates · 08. 12. 2012 13:57

uz to chapu. diky

Matematické Fórum

#1 07. 12. 2012 16:22

diferencialni rovnice druheho radu

#2 07. 12. 2012 16:58

Re: diferencialni rovnice druheho radu

#3 07. 12. 2012 17:22 — Editoval Rumburak (07. 12. 2012 17:23)

Re: diferencialni rovnice druheho radu

#4 08. 12. 2012 13:57

Re: diferencialni rovnice druheho radu

Zápatí