Matematické Fórum

ajaja · 07. 12. 2012 21:49

Potrebovala by som zistit kardinalitu vsetkych bijekcii N do N. Kedze bijekcie N do N su permutacie N, snazim sa to dokazat cez Alef 0! ale neviem si rady.... Pomoze niekto?

Brano · 07. 12. 2012 23:15

Skus si to ujasnit cez konecny pripad. Pocet permutacii $n$ prvkovej mnoziny je $n!$ a plati $n^n\ge n!\ge (n/2)^{n/2}$ .

Brano · 07. 12. 2012 23:58 — Editoval Brano (07. 12. 2012 23:58)

No mozno tu druhu nerovnost si ozrejmit cez zobraznia moze byt trochu problem, ale ak by si predpokladala, ze to plati aj pre nekonecne $n$ (trochu problematicke je povedat co je $n/2$ ale zrejme to musi byt $n$ ) tak by si mala dostat vysledok a ten si uz mozes skusit dokazat inak.

kompik · 08. 12. 2012 09:02 — Editoval kompik (09. 12. 2012 21:14)

↑ ajaja:
Pochádza úloha odtiaľto: http://msleziak.com/vyuka/2012/temno/premia2.pdf ?
V prípade domácich úloh nemám problém s tým, keď hľadáte pomoc napríklad na tomto fóre, ale bol by som rád, keby ste prémie skúsili naozaj riešiť samostatne - rozhodne nie nechať si to celé vyriešiť od niekoho iného.
(Ak to pochádza odinakiaľ, tak sa ospravedlňujem za nesúvisiacu vsuvku.)

Braňov tip (aj keď vychádza z analógie s konečným prípadom, čo nie vždy funguje) je dobrý: Odhad $|\operatorname{Bij}(\mathbb N,\mathbb N)|\le \aleph_0^{\aleph_0}$ je naozaj jasný. (A čomu sa rovná $\aleph_0^{\aleph_0}$ by ste mali vedieť zrátať.)

Čiže ak by ste vedeli nájsť množinu bijekcií z N do N, ktorá má aspoň takúto kardinalitu, tak to máte hotové (na základe Cantor-Bernsteinovej vety).

Snáď takýto hint by mal stačiť.

kompik · 08. 12. 2012 09:33 — Editoval kompik (08. 12. 2012 09:36)

ajaja napsal(a):
ok, teda ked uz povazujem n za nekonecne, mozem zan dosadit Alef 0 a teda (Alef 0 umocnene na Alef 0) ≥ Alef 0! ≥ Alef 0, a teda Alef 0! = Alef 0 ???? Ci to je blbost?

S týmto sú hneď dva problémy:

* bolo by treba vysvetliť, čo presne znamená $\aleph_0!$
* ak nejaká nerovnosť bola dokázaná pre prirodzené čísla (konečné kardinálne čísla), neznamená to, že platí aj pre nekonečné kardinálne čísla; napríklad pre konečné čísla platí vždy $a<a^2$ ale $\aleph_0=\aleph_0^2$ , teda pre $\aleph_0$ už táto vec neplatí.

BTW alef_0 sa da v TeX-u napísať ako \aleph_0: $\aleph_0$ .

ajaja · 08. 12. 2012 10:16

↑ kompik:
$\aleph_0^{\aleph_0}$ = c, teda $\aleph_0!$ $\le$ c
a zaroven ked mam mnozinu bijekcii napr 1-1, 2-2,... dalsia 1-2,2-3,... dalsia 1-3,2-4,... tak tych je $\aleph_0^{\aleph_0}$ a vsetkych bijekcii je $\aleph_0!$ potom $\aleph_0!$ $\ge$ $\aleph_0^{\aleph_0}$ =c

teda $\aleph_0!$ =c
rozmyslam aspon trochu dobre, alebo to mam vzdat? :)

kompik · 08. 12. 2012 10:23

ajaja napsal(a):
↑ kompik:
a zaroven ked mam mnozinu bijekcii napr 1-1, 2-2,... dalsia 1-2,2-3,... dalsia 1-3,2-4,... tak tych je

Neviem presne akú množinu bijekcií máš na mysli - z toho, čo tu je napísané, to vyzerá na zobrazenie $n\mapsto n+k$ pre ľubovoľné $k\in\mathbb N$ .

Týchto zobrazení je ale iba $\aleph_0$ a navyše nie sú bijekcie.

Brano · 08. 12. 2012 22:07

↑ ajaja:
Cize to co mas je, ze pre kardinalitu tych bijekcii - znacme ju trebars aj $\aleph_0!$ - plati $\aleph_0!\le c$ . A vyzeza, ze tvoj odhad je, ze $\aleph_0!=c$ - ak to chces dokazat, tak ti staci nejako dokazat, ze $\aleph_0!\ge c$ .

Matematické Fórum

#1 07. 12. 2012 21:49

Alef 0!

#2 07. 12. 2012 23:15

Re: Alef 0!

#3 07. 12. 2012 23:58 — Editoval Brano (07. 12. 2012 23:58)

Re: Alef 0!

#4 08. 12. 2012 09:02 — Editoval kompik (09. 12. 2012 21:14)

Re: Alef 0!

#5 08. 12. 2012 09:33 — Editoval kompik (08. 12. 2012 09:36)

Re: Alef 0!

ajaja napsal(a):

#6 08. 12. 2012 10:16

Re: Alef 0!

#7 08. 12. 2012 10:23

Re: Alef 0!

ajaja napsal(a):

#8 08. 12. 2012 22:07

Re: Alef 0!

Zápatí