Matematické Fórum

N3st4 · 01. 12. 2012 17:59

Ahoj. Potreboval by som poradiť s predĺžením miery v množinovom polookruhu bez jednotky.
Prečo je definícia miery pomocou len konečných pokrytí?

\mu ^{*}\text{(A)}=\sum_{k=1}^{n}\text{B_{k}}
\text{B_{k}} patria polookruhu

Mám tu napísanú vetu bez dôkazu, že:
Pre každú mieru m systém všetkých merateľných množín M v Lebesgueovom zmysle je \delta - okruh.
Nemá to byť náhodou \sigma - okruh?
Ďakujem.

kompik · 02. 12. 2012 07:02 — Editoval kompik (02. 12. 2012 07:03)

Skusil som sa pozriet do Halmos: Measure theory, ISBN 0387900888. Ak tu knihu nemas k dispozicii, mozno pomoze aj prehlad viet a definicii z nej (resp. nejakej casti), ktory je tu. (Asi su vety a definicie co citujem citatelnejsie v pdf-ku ako tu.)

N3st4 napsal(a):
\mu ^{*}\text{(A)}=\sum_{k=1}^{n}\text{B_{k}}
\text{B_{k}} patria polookruhu

Nechyba Ti tam este nejake infimum? Podoba sa to na s.42, Theorem 10.A:
If $\mu$ is a measure on a ring $\mathbf R$ and if, for every $E$ in $\mathbf H(\mathbf R)$ ,

then $\mu^*$ is an extension of $\mu$ to an outer measure on $\mathbf H(\mathbf R)$ ; if $\mu$ is [totally] $\sigma$ -finite, then so is $\mu^*$ .

N3st4 napsal(a):
Mám tu napísanú vetu bez dôkazu, že:
Pre každú mieru m systém všetkých merateľných množín M v Lebesgueovom zmysle je \delta - okruh.
Nemá to byť náhodou \sigma - okruh?

To sa podoba na tieto vety:
Theorem 11.B:
If $\mu^*$ is an outer measure on a hereditary $\sigma$ -ring \mathbf H and if $\overline{\mathbf S}$ is the class of all $\mu^*$ -measurable sets, then $\overline{\mathbf S}$ is a $\sigma$ -ring. If $A\in\mathbf H$ and if $(E_n)$ is a disjoint sequence of set in $\overline{\mathbf S}$ with $\bigcup_{n=1}^\infty E_n= E$ , then

Theorem 11.C:
If $\mu^*$ is an outer measure on a hereditary $\sigma$ -ring $\mathbf H$ and if $\overline{\mathbf S}$ is the class of all $\mu^*$ -measurable sets, then every set of outer measure zero belongs to $\overline{\mathbf S}$ and the set function $\overline\mu$ , defined for $E$ in $\overline{\mathbf S}$ by $\overline\mu(E)=\mu^*(E)$ , is a complete measure on $\overline{\mathbf S}$ .

Formulacia s konecnymi sumami sa mi nejako nepozdava. Pre istotu, ci mame rovnaku definiciu polokruhu:
s.22. (Nie je mi jasne, co v mnozinovom kontexte rozumies pod polokruhom "bez jednotky"):
A semiring is a non empty class $\mathbf P$ of sets such that:
a) if $E,F\in\mathbf P$ then $E\cap F\in\mathbf P$ ,
b) if $E,F\in\mathbf P$ and $E\subset F$ then there is a finite class $\{C_0, C_1, \ldots, C_n\}$ of sets in \mathbf P such that $E=C_0 \subset C_1 \subset \ldots \subset C_n = F$ and $D_i=C_i-C_{i-1} \in \mathbf P$ for $i=1,2,\ldots,n$ .

Ak vezmem za polokruh vsetky jednobodove mnoziny, tak cez konecne zjednotenia som schopny pokryt iba konecne mnoziny. To nie je $\sigma$ -okruh.