Matematické Fórum

tomka · 07. 12. 2012 21:46

Dobrý den,

prosím Vás mohl by mi někdo pomoci s příkladem:

Na přednášce jsme to ještě neprobrali, takže nevím jak začít a co všechno počítat.

Děkuji za pomoc.

Blackflower

↑ tomka: Najprv si treba zistiť definičný obor - teda ošetriť menovateľ zlomku, aby nebol nulový a taktiež celý zlomok, ktorý musí byť kladný, aby sa dal dosadiť do logaritmu.
Keď funkciu zderivuješ a položíš túto deriváciu rovnú nule, dostaneš lokálne extrémy. Tie delia graf funkcie na intervaly. Dosadením nejakej hodnoty z tohto intervalu zistíš, či je na ňom funkcia rastúca ( $f'(x)\ge 0$ ) alebo klesajúca ( $f'(x)\le 0$ ). Ostré nerovnosti znamenajú rýdzo rastúcu/klesajúcu funkciu.
Druhá derivácia ti určuje konvexnosť/konkávnosť na jednotlivých intervaloch.

Neviem, koľko toho potrebuješ, ale podrobnejšie info a aj príklady nájdeš tu : http://www.math.sk/skripta/node176.html

tomka · 07. 12. 2012 22:56

děkuju. Snad to bude stačit :)

Blackflower · 07. 12. 2012 23:01

↑ tomka: Dúfam, že áno, zdá sa mi to celkom dobre spracované :)

tomka · 08. 12. 2012 11:57

trochu jsem se sekl s tou první derivací. Zatím jsem vypočítal :

potom v čitatelu by to šlo ještě upravit na :

-2x*(x^2+8)+(x-1)*(x+1)

čitatel a jmenovatel by šel pokrátit a ve jmenovateli by zůstalo:

(1-x)*(1+x)*(x^2+4)

ale nevím si rady, jak pokračovat s čitatelem.

Děkuji za pomoc.

tomka · 08. 12. 2012 13:15

V čitateli by mělo vyjít 10x a jmenovatel mi vychází dobře. Jenom mám problem s tím čitatelem. :(

Blackflower · 08. 12. 2012 14:05

↑ tomka: Ja sa priznám, že som sa tiež v tej derivácii zamotala, tak som to radšej hodila do programu. Vyšiel mu zlomok $-\frac{10x}{(1-x^2)(x^2+4)}$ , teda to isté, čo aj tebe. Keď chceme zistiť extrémy, musíme túto deriváciu položiť rovnú nule. Keďže menovateľ zlomku nesmie byť rovný nule, stačí sa zaoberať čitateľom.

tomka · 08. 12. 2012 15:00

No mě by spíše zajímalo jak se dostanu k tomu 10x :D K tomu jsem se právě nedostal :)

Blackflower

↑ tomka: Ja som si najskôr zderivovala argument logaritmu, vyšlo to takto : $(\frac{1-x^2}{x^2+4})'=\frac{-2x(x^2+4)-2x(1-x^2)}{(x^2+4)^2}$ - derivácia podielu, po úpravách a vyňatí $-2x$ pred obidve zátvorky mi vyšlo $\frac{-10x}{(1-x^2)(x^2+4)}$ .

tomka · 08. 12. 2012 15:23

jo :) taky jsem to tak počítal a pořád mi to vycházelo 6x. Pak jsem si všíml, že jsem to měl špatně opsaný a počítal jsem to s (x^2-4) a mělo tam být +4 :) teď už mě to taky vychází :)

Blackflower · 08. 12. 2012 15:27

↑ tomka: to som rada :) snáď ti už bude všetko vychádzať :)

tomka · 08. 12. 2012 15:57 — Editoval tomka (08. 12. 2012 15:58)

to já taky :D kdyby něco tak se ozvu :D a děkuju :)

tomka · 08. 12. 2012 17:49

ok takže problem nastal :D Potřebuju znovu zderivovat tu zderivovanou funkci abych dostal f´´. Když to počítam, tím způsobem, který jsem použil v první derivaci, tak mi to nevycházi jak by mělo.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=de … 4%29%29%29

Muj výpočet je úplně stejný, ale v tom čitateli se mi ještě k tomu objeví 80x^4 +120x^2.

Blackflower · 08. 12. 2012 18:12

↑ tomka: Prvé, čo mi napadlo, bolo vyňať -10 pred celý zlomok. Potom roznásobiť menovateľ, keďže polynóm sa mi bude derivovať lepšie ako súčin dvoch polynómov. Výsledok sem hodím zachvíľu, snáď mi to vyjde. :)

Blackflower

↑ tomka: Týmto mojím spôsobom mi to išlo celkom fajn a doviedlo ma to aj k správnemu výsledku. Teraz treba čitateľ znova položiť rovný nule, čím dostaneme inflexné body, v ktorých sa mení konvexnosť na konkávnosť a naopak.

tomka · 08. 12. 2012 18:23 — Editoval tomka (08. 12. 2012 18:27)

vychází mi to: 10(3x^4+3x^2+4)/(x^4+3x^-4)^2

Ale podle wolframalpha je tam -10... :(

Blackflower

↑ tomka: Je to ok (iba v menovateli ti asi vypadla dvojka za znakom "^"). Mínus 10 preto, lebo bola aj v prvej derivácii - pred celým zlomkom.

tomka · 08. 12. 2012 18:31

jj to mi tam vypadlo :D

tomka · 08. 12. 2012 18:32

takže tam bude těch +10 jo ? :)

Blackflower · 08. 12. 2012 18:37

↑ tomka: Práveže by tam malo byť -10, aj mne to tak vyšlo...

tomka · 08. 12. 2012 18:50

proč tam je těch - 10 ? :( tomu nerozumím.

takhle jsem to počítal, ale je možné že tam je něco špatně s tou 10...

tomka · 08. 12. 2012 18:53 — Editoval tomka (08. 12. 2012 18:54)

no a ještě mám problem s tím definičním oborem :( Když si jmenovatel postavím 0 tak rovnice bude:

x^2+4=0
x^2=-4
ABS x=odmocnina -4 ale to nejde.

Takže jde to tak, že umocním první řádek a získam:

x+2=0
x=-2 takže x se nesmí rovnat -2

Blackflower

↑ tomka: Podľa mňa wolfram chce mať krajšie zápisy a spravil takú vec, že menovateľ vynásobil -1 a potom ho dal na druhú. V reálnych číslach to môže urobiť, lebo $(-x)^2=x^2$ .

Blackflower · 08. 12. 2012 19:00

↑ tomka: Ak máme výraz $x^2+4$ v reálnych číslach, nech je x hocijaké malé, $x^2$ bude vždy najmenej 0. Teda hodnota celého menovateľa bude vždy najmenej 4, z toho vyplýva, že zlomok je definovaný všade.

Čo sa týka logaritmu, vieme, že tam môžeme dosadiť iba kladné čísla. Čiže ideme zisťovať, kedy je zlomok kladný, teda riešiť nerovnicu $1-x^2>x^2+4$ .

tomka · 08. 12. 2012 19:08

takže ten definiční obor je (-nekonečno , +nekonečno) a ten logaritmus: x^2< -3/2

Doufam, že to tak je :D

Matematické Fórum

#1 07. 12. 2012 21:46

Průběh funkcí

#2 07. 12. 2012 22:43 — Editoval Blackflower (07. 12. 2012 22:44)

Re: Průběh funkcí

#3 07. 12. 2012 22:56

Re: Průběh funkcí

#4 07. 12. 2012 23:01

Re: Průběh funkcí

#5 08. 12. 2012 11:57

Re: Průběh funkcí

#6 08. 12. 2012 13:15

Re: Průběh funkcí

#7 08. 12. 2012 14:05

Re: Průběh funkcí

#8 08. 12. 2012 15:00

Re: Průběh funkcí

#9 08. 12. 2012 15:15 — Editoval Blackflower (08. 12. 2012 15:15)

Re: Průběh funkcí

#10 08. 12. 2012 15:23

Re: Průběh funkcí

#11 08. 12. 2012 15:27

Re: Průběh funkcí

#12 08. 12. 2012 15:57 — Editoval tomka (08. 12. 2012 15:58)

Re: Průběh funkcí

#13 08. 12. 2012 17:49

Re: Průběh funkcí

#14 08. 12. 2012 18:12

Re: Průběh funkcí

#15 08. 12. 2012 18:17 — Editoval Blackflower (08. 12. 2012 18:18)

Re: Průběh funkcí

#16 08. 12. 2012 18:23 — Editoval tomka (08. 12. 2012 18:27)

Re: Průběh funkcí

#17 08. 12. 2012 18:29 — Editoval Blackflower (08. 12. 2012 18:31)

Re: Průběh funkcí

#18 08. 12. 2012 18:31

Re: Průběh funkcí

#19 08. 12. 2012 18:32

Re: Průběh funkcí

#20 08. 12. 2012 18:37

Re: Průběh funkcí

#21 08. 12. 2012 18:50

Re: Průběh funkcí

#22 08. 12. 2012 18:53 — Editoval tomka (08. 12. 2012 18:54)

Re: Průběh funkcí

#23 08. 12. 2012 18:56 — Editoval Blackflower (02. 01. 2016 16:53)

Re: Průběh funkcí

#24 08. 12. 2012 19:00

Re: Průběh funkcí

#25 08. 12. 2012 19:08

Re: Průběh funkcí

Zápatí