Matematické Fórum

PetraK · 01. 12. 2008 18:56

Ahojky, mohl by mi prosím někdo pomoct vypočítat tři příklady na křivkový integrál I. druhu po dané křivce k?

1. integrál xds kde k: úsečka spojující body A(0,0), B(1,2)
(výsledek: 1/2 odmocnina ze tří)

2. integrál (x na druhou + y na druhou)ds kde k: kružnice x=acost, y=asint, t v intervalu <0, 2pí>

(výsledek: 2pía na třetí)

3. integrál x na druhou ds, kde k: asteroida x=acos na třetí t,
y=asin na třetí t
(výsedek: 4a na 7/3)

Moc děkuji.

lukaszh · 02. 12. 2008 17:09

↑ PetraK:
Ahoj, chcem ťa len upozorniť na to, že nemám ani šajnu čo je to krivkový integrál, ani neviem na čo to je, lebo teraz som prvák na vysokej, ale môžem ti poradiť s prvým príkladom (paradoxné, že? :-) Chcem odpovedať preto, že ti zatiaľ nikto neodpovedal:
$\int_k x\,\text{d}s$
Vyjadrím si úsečku AB:
$0=0k+q\nl2=k+q$
Odtiaľ:
$y=2x;\; x\in[0;1]\nl y'=2\nl\text{d}s=\sqrt{1+2}$
$\int_k x\,\text{d}s=\int_{0}^{1}x\sqrt{2}\,\text{d}x=\sqrt{3}\[\frac{x^2}{2}\]_0^1=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Mal by som takú otázku na kolegov, že na čo je krivkový integrál a kde sú jeho aplikácie, dík.

Pavel Brožek · 02. 12. 2008 17:29

↑ lukaszh:

Jestli se nepletu, tak jsi zapomněl umocnit dvojku, čili $\text{d}s=\sqrt{1+2^2}$ a vyjde $\frac{\sqrt5}{2}$ .

lukaszh · 02. 12. 2008 17:31

↑ BrozekP:
Hádať sa nejdem, ale podľa výsledkov, ktoré poskytla ↑ PetraK: to mám správne :-)

Pavel Brožek · 02. 12. 2008 17:45

Parametrizuju tu křivku zobrazením $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$ :

$\varphi(t)=(t,2t)\qquad t\in[0,1]$

Derivace je tedy $\varphi'(t)=(1,2)$ a křivkový integrál

$\int_{\varphi}x\textrm{d}s=\int_{0}^1 t\cdot||\varphi'(t)||\textrm{d}t=\int_0^1 t\sqrt{1^2+2^2}\textrm{d}t=\int_0^1 t\sqrt{5}\textrm{d}t=\sqrt{5}\[\frac{t^2}{2}\]_0^1=\frac{\sqrt5}{2}$

Věřím víc vlastním výpočtům než výsledkům, ale pokud tam mám chybu, budu rád, když ji někdo nalezne.

lukaszh · 02. 12. 2008 17:57

↑ BrozekP:
A mohol by si mi povedať čo vlastne vyjadruje ten výsledok? To je nejaká plocha alebo objem alebo čo?

Pavel Brožek · 02. 12. 2008 18:21

↑ lukaszh:

$\int_{\varphi}f(\vec x)\textrm{d}s=\int_{a}^b f(\vec x(t))||\varphi'(t)||\textrm{d}t$

Máš nějakou křivku a nějaké skalární pole. A ty chceš načítat toto skalární pole přes tu křivku. Pokud by skalární pole bylo konstantní, tak nám křivkový integrál dá jednoduše tu konstantu krát délku křivky. Jestliže je ale v prostoru různé, pak musíme načítat přes elementy délky té křivky (jako by na tom elementu bylo skalární pole konstantní) a integrovat. $||\varphi'(t)||\textrm{d}t$ je tedy element délky křivky - určitě se o tom sám dokážeš přesvědčit.

Typický příklad by mohl být: Máme terén a nějakou funkci popisující neprostupnost v terénu (v každém místě udává, za jak dlouho bychom ušli kilometr v terénu jako je na tomto místě) a máme nějakou cestu (křivku) vedoucí terénem. Máme spočítat, za jak dlouho tuto cestu ujdeme.

Olin · 02. 12. 2008 18:33

2. Uvedená kružnice se dá vyjádřit i rovnicí $x^2 + y^2 = a^2$ , integrujeme tedy konstantu $a^2$ . Při integrování konstanty je výsledek ona konstanta krát délka křivky, která je v tomto případě $2 \pi a$ . Výsledek tedy je
$\int_k (x^2 + y^2) \mathrm{d}s = 2 \pi a^3$