Matematické Fórum

fffghj · 08. 12. 2012 21:24 — Editoval fffghj (08. 12. 2012 21:24)

Mám vypočítat:

$f(x,y) =\int_{0}^{4}\int_{0}^{1}\frac{1}{(2x+y+1)^{2}}dydx$

Nevím, jak řešit ten vnitřní integrál - nějakou substitucí? Jakou nebo jinak?

jelena · 08. 12. 2012 21:39 — Editoval jelena (08. 12. 2012 21:40)

Zdravím,

v jmenovateli jen jedno písmeno (přidáno - pro vnitřní integrál) bude označovat proměnnou (např. $x$ ), potom můžeš mít substituci $2x+y+1=t$ (ale to jen pro představu jak se to zintegruje, abys nemusel řešit změnu mezí). Stačí tak? Děkuji.

fffghj · 08. 12. 2012 22:04

ok, takže to bude vypadat takto?

$2x+y+1=t$
$1=dt$

meze:

$0\Rightarrow 2x+1$
$1\Rightarrow 2x+2$

Takto?

jelena · 08. 12. 2012 22:20

↑ fffghj:

no právě bych tu substituci jen představila: $2x+y+1=t$ , potom $2\d x=\d t$ nebo $\d y=\dt$ (záleží podle čeho integruješ), do změn mezí bych se nepouštěla. Zde taková substituce je jen drobná pomůcka pro usnadnění představy.

tedy integruji:
$\int \frac{1}{(2x+y+1)^{2}}\d y=\frac{-1}{(2x+y+1)}$ jako $\int \frac{1}{(y+a)^{2}}\d y=\frac{-1}{(y+a)}$
$\int \frac{1}{(2x+y+1)^{2}}\d x=\frac{-1}{2(2x+y+1)}$ jako $\int \frac{1}{(2x+a)^{2}}\d x=\frac{-1}{2(2x+a)}$

je to tak vidět? Zkus výsledky parciálně zderivovat po stejné proměnné.

fffghj · 08. 12. 2012 22:32

Integruji podle y ten vnitřní integrál.

Myslim, že to vidím. Zkrátka ta "substituce" slouží jen jako odhad toho vztahu $\int \frac{1}{(y+a)^{2}}\d y=\frac{-1}{(y+a)}$ ? Díky té "substituci" bych měl být schopen ten vztah odhadnout a pak dokázat, že platí (dokážu to zderivováním).

A byla by ta substituce tedy po formální stránce dobře?

jelena · 08. 12. 2012 23:00

↑ fffghj:

ano, substituce by byla i formálně správná - můžeš ověřit použitím každé z metod - výsledek je stejný. Jinak bych řekla, že po pár integrálech tuto substituci už vidíš automaticky a není třeba speciálně zapisovat, ani dokazovat (alespoň si to myslím).

Matematické Fórum

#1 08. 12. 2012 21:24 — Editoval fffghj (08. 12. 2012 21:24)

Dvojný integrál

#2 08. 12. 2012 21:39 — Editoval jelena (08. 12. 2012 21:40)

Re: Dvojný integrál

#3 08. 12. 2012 22:04

Re: Dvojný integrál

#4 08. 12. 2012 22:20

Re: Dvojný integrál

#5 08. 12. 2012 22:32

Re: Dvojný integrál

#6 08. 12. 2012 23:00

Re: Dvojný integrál

Zápatí