Matematické Fórum

fffghj · 08. 12. 2012 21:37

Mám vypočítat:

$\int_{0}^{2}\int_{0}^{1} = xy^{2}e^{xy} dydx$

Opět potřebuji pouze nakopnout. Nějak mě napadlo per partes ale nevidím co vzít za u' a co za v.

jardofpr · 09. 12. 2012 00:22

ahoj ↑ fffghj:

pri výpočte vnútorného integrálu (podľa $y$ ? ) by som zvolil $v=y^2$ ,
potom ešte raz per partes s $v=y$ pri výpočte integrálu ktorý zostane treba vypočítať po prvom použití per partes

fffghj · 09. 12. 2012 00:56 — Editoval fffghj (09. 12. 2012 00:58)

Jak by tedy vypadala ta substituce?

$v=y^{2}$
$dv=2ydy \Rightarrow dy=\frac{dv}{2y}$

Píšu jen ten vnitřní integrál, je podle y.

$\int_{0}^{1} = xy^{2}e^{xy} dy = \int_{0}^{1}\frac{xv}{2y}e^{x\sqrt{v}}dv$

a dále:

$\frac{x}{2}\int_{0}^{1}v^{\frac{1}{2}}e^{x\sqrt{v}}dv$

Takže toto integrovat dle v. Jenže když to teď udělám přes per partes, tak zderivováním $v^{\frac{1}{2}}$ se mi nevyruší a nikam se tím nedostanu.

EDIT:Nebo teď další substituci $t=v^{\frac{1}{2}}$ ?

jardofpr · 09. 12. 2012 01:38

↑ fffghj:

per partes nie je substitúcia, metóda per partes je odvodená zo vzťahu pre deriváciu súčinu funkcií:

nahrubo to vyzerá tak:

$(u(x).v(x))'=u'(x).v(x) + u(x).v'(x)$ tu sa zintegrujú obe strany podľa $x$ a vyjde

$u(x).v(x)=\int u'(x).v(x)\mathrm{d}x + \int u(x).v'(x) \mathrm{d}x$ čo je ekvivalentné s

$u(x).v(x) - \int u(x).v'(x)\mathrm{d}x=\int u'(x).v(x) \mathrm{d}x$ $(\bigstar )$

využitie je, že keď sa ťažko pohnúť s výpočtom integrálu na pravej strane rovnosti $(\bigstar )$ ,
stáva sa že je ľahšie počítať ľavú stranu, teda si len šikovne volíš $u'$ a $v$ tak,
aby si vedel spočítať ten integrál ktorý je na ľavej strane rovnosti, teda žiadna substitúcia

keď zvolíš napr. $v=y^2, u'=x\mathrm{e}^{xy}$ , potom je tvoj vnútorný integrál tvaru

$\int u'.v\,\mathrm{d}y$ lebo $u'.v=x\mathrm{e}^{xy}.y^2$

teraz sme na pravej strane rovnosti $(\bigstar )$ , keďže tú nevieme vypočítať,
prepíšeme do tvaru na ľavej strane a počítame to

na to potrebuješ poznať $u$ a $v'$

$u=\int u'\mathrm{d}y=\int x\mathrm{e}^{xy}\mathrm{d}y=\mathrm{e}^{xy}$ (konštantu tam netreba lebo v konečnom dôsledku počítame určitý integrál)

$v'= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}y^2=2y$

takže ten prepis do tvaru na ľavej strane rovnosti $(\bigstar )$ vyzerá tak:

$\int_{0}^{1} xy^2\mathrm{e}^{xy}\mathrm{d}y=\left| \begin{array}{ll} u'=x\mathrm{e}^{xy}&u=\mathrm{e}^{xy}\\v=y^2 & v'=2y \end{array} \right|=\bigg[y^2\mathrm{e}^{xy}\bigg]_0^1-2\int_{0}^{1}y\mathrm{e}^{xy}\mathrm{d}y$

pričom ten integrál ktorý takto vznikol sa zasa spočíta per partesom, kde zvolíš napr $v=y, u'=\mathrm{e}^{xy}$