Matematické Fórum

010010 · 09. 12. 2012 16:31 — Editoval 010010 (09. 12. 2012 16:32)

Podle denice limity napiste pomocou kvantikatoru, co znamena vyrok: lim x→0 sin(1/x) neni rovna nule.
Dokazte.

Výrok znamená:
$\exists \varepsilon >0 \forall \delta >0 \exists x\in \mathbb{R}: 0<|x-0|<\delta \wedge |sin(1/x)-0|>\varepsilon$

Dôkaz:
sin(1/x) je ohraničená, nieje definovaná v bode 0, takže budem počítať limitu z prava a limitu z ľava.
Viem že limita neexistuje, tak aký bude záver ? :/

Ďakujem

user · 09. 12. 2012 18:15

Ahoj, k důkazu bych použil úvahu na základě Heineho věty. Vyberu 2 posloupnosti s různými limitami.

$\sin \frac{1}x=1 \Leftrightarrow \frac{1}x=2k\pi+\frac{\pi}{2}\\ \sin \frac{1}x=-1 \Leftrightarrow \frac{1}x=2k\pi+\frac{3\pi}{2}$

Takže bych zvolil 2 posloupnosti
$x^{(1)}_n=\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}\\ x^{(2)}_n=\frac{1}{2n\pi+\frac{3\pi}{2}}$
Čímž se ukáže, že limita neexistuje.

Teď jsem si pořádně přečetl zadání, a Tobě stačí ukázat, že se nerovná nule.
Znamená to najít x z intervalu $(-\delta,\delta)\backslash\{0\}$ , takové, že výraz $\sin\frac{1}x>\varepsilon$ .
Pokud vyberu $\varepsilon=\frac12$ . A použiji úvahy z vlastnosti posloupností $x^{(1)}_n$ . Zvolím:
$x_\delta:=\frac{1}{2n_0(\delta)\pi+\frac{\pi}{2}}$
index $\delta$ značí závislost na $\delta$ . Nyní zvolím vhodně $n_0(\delta)$ například:

$n_0(\delta)=\lfloor\frac1\delta\rfloor$

Tím je automaticky splněno tvrzení, které chceme dokázat, protože:

$\sin\frac1{x_\delta}=1>\frac12$

Jediné, co je ještě třeba doověřit, že:

$x_\delta\in(-\delta,\delta)\backslash\{0\}$
To je ale už jednoduché.