Matematické Fórum

Sajmon9114 · 10. 12. 2012 11:13

Ahoj, mám spočítat derivaci v bodě $0$ funkce $\sqrt{1-\mathrm{e}^{-x^2}}$ . Derivaci v tomto bodě počítám jako $f_{\pm }'(0)$ (funkce je v bodě $0$ spojitá zprava i zleva) což se rovná $\lim_{x\to\pm 0}\frac{x*\mathrm{e}^{^{-x^2}}}{\sqrt{1-\mathrm{e}^{^{-x^2}}}}$ . A teď se dostávám ke svému problému. Tahle limita by se měla počítat tak, že pod odmocninou použiju známou limitu $\lim_{x\to0}\frac{\mathrm{e}^{^{x}}-1}{x}=1$ , jenomže tam jsou obrácená znaménka. Když pod odmocninou vytknu $-1$ , budu tam mít po dosazení $\sqrt{(-1)*1}$ , což nelze provést. Náš učitel si nicméně to $-1$ vytknul až před limitu, a pak už to fungovat bude. Ptám se tedy: z odmocniny lze $-1$ libovolně vytknout před ni, nebo je tohle nějaký speciální případ? Děkuji za odpověď.

Skumin · 10. 12. 2012 12:49

Řekl bych, že v tomto případě má odmocnina čistě formální charakter ( $\lim_{x\to0}\frac{\mathrm{e}^{^{x}}-1}{x}=1$ bude $1$ vždycky, nehledě na to, jestli to odmocníš, nebo ne), a tak s ní můžeš pracovat jako s normální závorkou, tedy vytknout "minus" před limitu. Ale úplně jisý si tím nejsem, chtělo by to nějaké matematičtější vysvětlení :D

jelena · 10. 12. 2012 13:15

Zdravím v tématu,

chybějící minus jsem nějak nenašla (vytýkání minusu z odmocniny - to by ještě chtělo upřesnit, zatím nevidím). Spíš bych se snažila upravit

$\lim_{x\to\pm 0}\frac{x\cdot \mathrm{e}^{^{-x^2}}}{\sqrt{1-\mathrm{e}^{^{-x^2}}}}=\lim_{x\to\pm 0}\sqrt{\frac{x^2}{1-\mathrm{e}^{-x^2}}}\cdot \mathrm{e}^{^{-x^2}}=\lim_{x\to\pm 0}\sqrt{\frac{x^2}{1-\frac{1}{\mathrm{e}^{x^2}}}}\cdot \mathrm{e}^{^{-x^2}}$

Po úpravě na společný jmenovatel výrazu v jmenovateli (pod odmocninou) $1-\frac{1}{\mathrm{e}^{x^2}}$ už by to mělo být vidět.

chtělo by to nějaké matematičtější vysvětlení :D

:-) to by chtělo

Sajmon9114 · 10. 12. 2012 13:59

↑ jelena: Ahoj, nevěděl jsem, že $\lim_{x\to\pm 0}\frac{x\cdot \mathrm{e}^{^{-x^2}}}{\sqrt{1-\mathrm{e}^{^{-x^2}}}}=\lim_{x\to\pm 0}\sqrt{\frac{x^2}{1-\mathrm{e}^{-x^2}}}\cdot \mathrm{e}^{^{-x^2}}$ je ekvivalentní, protože když bych poté odstranil odmocninu z čitatele, mělo by mi tam zůstat $\lim_{x\to\pm 0}\frac{|x|}{\sqrt{1-\mathrm{e}^{-x^2}}}\cdot \mathrm{e}^{-x^2}$ . Což je ale při vyšetřování pravostranné derivace asi stejné jako tvůj výraz (?).

jelena · 10. 12. 2012 15:43

↑ Sajmon9114:

po této úpravě (a po společném jmenovateli, jak jsem psala v předchozím příspěvku) $\lim_{x\to\pm 0}\sqrt{\frac{x^2}{1-\mathrm{e}^{-x^2}}}\cdot \mathrm{e}^{^{-x^2}}$ mohu vyšetřovat limitu vnitřní funkce, co je pod odmocninou (příp. substituce $x^2=y$ ).

Pokud potřebuji "poslat" x pod odmocninu, tak nějaké omezení nemám, naopak pokud vyjmu z odmocniny, tak ano $\sqrt{x^2}=|x|$ . Ale zde se mi zdá, že ani nepotřebuji používat. Šlo by nascanovat postup od učitele? - protože pořád nevím, které minus máš na mysli. Děkuji.

Skumin · 10. 12. 2012 16:13 — Editoval Skumin (10. 12. 2012 16:13)

↑ Sajmon9114: Já bych to celé neřešil pomocí limit pravo a levostranných derivací, ale přímo z definice derivace. Tj. $f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{1-\mathrm{e}^{^{-h^2}}}}{h}$ . Toto si dále rozdělíš na dva případy, budeš počítat limitu zprava, a pak zleva, tj. $\lim_{h\to+0}\frac{\sqrt{1-\mathrm{e}^{^{-h^2}}}}{h}=\lim_{h\to+0}\frac{\sqrt{1-\mathrm{e}^{^{-h^2}}}}{\sqrt{h^2}}=\sqrt{\frac{\mathrm{e}^{^{-h^2}}-1}{-h^2}}=1$ pro limitu zprava. Pro limitu zleva pak: $\lim_{h\to-0}\frac{\sqrt{1-\mathrm{e}^{^{-h^2}}}}{h}=-\sqrt{\frac{\mathrm{e}^{-h^2}-1}{-h^2}}=-1$ . Derivace v nule tedy neexistuje.

Sajmon9114 · 10. 12. 2012 16:22

↑ Skumin: No jo, už to vidím. To minus před odmocninou u té levostranné derivace mě zmátlo. Musí tam být z toho důvodu, že toto $\lim_{h\to-0}\frac{\sqrt{1-\mathrm{e}^{^{-h^2}}}}{h}$ je vždy záporné a pokud bych ho tam nedal, další úpravou "vytvořím" zlomek, který je kladný. Jestli to tedy chápu správně :D

Sajmon9114 · 10. 12. 2012 16:24

↑ jelena: Děkuji, už je mi to jasné. To minus, které jsem nechápal, vysvětluje ve svém příspěvku ↑ Skumin:. Ještě jednou, děkuji oběma :)

Matematické Fórum

#1 10. 12. 2012 11:13

Derivace

#2 10. 12. 2012 12:49

Re: Derivace

#3 10. 12. 2012 13:15

Re: Derivace

#4 10. 12. 2012 13:59

Re: Derivace

#5 10. 12. 2012 15:43

Re: Derivace

#6 10. 12. 2012 16:13 — Editoval Skumin (10. 12. 2012 16:13)

Re: Derivace

#7 10. 12. 2012 16:22

Re: Derivace

#8 10. 12. 2012 16:24

Re: Derivace

Zápatí