Matematické Fórum

Kláraaa · 10. 12. 2012 13:33

Prosím o radu:
$\sqrt{3}*\cos x+\sin x=2$

zdenek1 · 10. 12. 2012 13:43

↑ Kláraaa:
$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac12\sin x=1$
$\sin \frac\pi3\cos x+\cos \frac\pi3\sin x=1$
$\sin(\frac\pi3+x)=1$

vanok · 10. 12. 2012 13:43

Ahoj (to je slusnost ) ↑ Kláraaa:,

Jedno mozne riesenie.

napis tvoju rovnicu v tejto forme:
$\frac {\sqrt{3}}2 \cdot\cos x+\frac 12 \cdot \sin x=1$
a vyuzi ze
$\frac {\sqrt{3}}2 =\sin y$
a
$\frac 12 = cos y$ (a velmi znamu trigonometricku identitu)

Potom vies, ze $1= \sin ?$
........
Staci?

Kláraaa · 10. 12. 2012 13:46

↑ vanok:
Jojo, už to vidím.... moc oběma děkuju :)

Cheop · 10. 12. 2012 13:46

↑ Kláraaa:
1) Převést sin(x) na druhou stranu rovnice
2) Umocnit
3) Použít goniometrickou jedničku
4) Vypočítat řešení
5) Provést zkoušku (umocňavali jsme = neekvivalentní úprava)
Vychází mi

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

BakyX · 10. 12. 2012 13:50 — Editoval BakyX (10. 12. 2012 13:52)

Trikové riešenie:

$\sqrt{3} \cos x + \sin x = 2$ \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2}\sin x$=2$ \sin 60^\circ \cos x + \cos 60^\circ \sin x$=2 \sin(60^\circ+x)$

Ďalšie mierne trikové riešenie.

$\cos x = \cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}$

$\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$

$2=2$\sin^2 \frac{x}{2}+\cos^2 \frac{x}{2}$$

Dosadením a vydelením napr. $\cos^2 \frac{x}{2}$ máme rovnicu v premennej $\tan^2 \frac{x}{2}$ .

Prirodzené riešenie, pri ktorom ale treba robiť skúšku:

$\sin x = 2-\sqrt{3} \cos x$

Umocníš na druhú a použiješ $\sin^2 x = 1-\cos^2 x$ . Máš rovnicu v premennej $\cos x$ . Na konci musíš robiť skúšku.