Matematické Fórum

BMAJTZ · 10. 12. 2012 02:28

Zdravím mám 2 problémy a ani jeden netuším jak vyřešit. Respektive ani skripta nepomohla s nalezením řešení. První problém je kvazilineární parciální diferenciální rovnice
$x z_x^{'}+z_y^{'}=6$
Úkolem je ji jednoduše vyřešit.

Druhým úkolem je řešení diferenciální rovnice metodou charakteristik.
$u_{xx}^{''}+24u_{xy}^{''}+108u_{yy}^{''}=0$
Počáteční podmínka pro druhý příklad je
$u(x,0)=-36x^{2}, u_y(x,0)=6x$

Zatím jsem s řešením diferenciálních rovnic neměl problém ale zdá se, že tyto úlohy už jsou trochu nad moje schopnosti.

Brano · 10. 12. 2012 15:31

Ta kvazilinearna sa riesi charakteristikami.
http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_characteristics
cize riesis
$\dot{x}=x$
$\dot{y}=1$
$\dot{z}=6$

dostanes $x=Ae^t$ , $y=t+B$ , $z=6t+C$ z toho sa daju zostavit dve nezavisle konstantne funkcie, napr. $z-6y$ a $xe^{-y}$ cize vseobecne riesenie dane implicitne je $\phi(z-6y,xe^{-y})=0$ a explicitne ho mozme vyjadrit takto: $\phi(u,v)=u-f(v)$ a teda $z=6y+f(xe^{-y})$ .

Brano · 10. 12. 2012 20:00 — Editoval Brano (10. 12. 2012 21:50)

Trochu som googlil a metodu charakteristik pre PDR 2. radu nejak neviem najst, tak s tym ti moc nepomozem, ale jedna sa inak o dost jednoduchu hypebolicku rovnicu, ta ma vseobecne riesenie tvaru
$u(x,y)=f(ax+by)+g(cx+dy)$ kde $a,b,c,d$ su konstanty, ktore maju obmedzenie, ktore mozes ziskat z toho, ze toto $u$ dosadis do svojej rovnice a budes ziadat, ze ma byt splnena pre lubovolne funkcie $f,g$ a $(a,b)$ a $(c,d)$ su linearne nezavisle - pricom staci najst jednu taku stvoricu $a,b,c,d$ . A zvysok dopocitas z pociatocnych podmienok.

BMAJTZ · 11. 12. 2012 06:28

↑ Brano: Na ty konstantni funkce jsi prisel jak. nejak mi to nedava smusl pokud uvazuji ty konstanty ABC

Brano · 11. 12. 2012 12:22

krivky $x(t)$ , $y(t)$ , $z(t)$ sa nazyvaju charakteristiky a povodna rovnica vlastne hovori, ze ak je $z$ dane implicitne v $F(x,y,z)=0$ , tak musi platit $F(x(t),y(t),z(t))=\text{konstanta}$ pre lubovolnu (pevnu) charakteristiku. Teraz ak si zoberies vyraz $z-6y$ a dosadis donho charakteristiku tak dostanes $z(t)-6y(t)=6t+C-6(t+B)=C-6B$ co je konstanta cize $F(x,y,z)=z-6y$ je vhodna funkcia, ale napr. aj $F(x,y,z)=\sin(z-6y)$ resp. $F(x,y,z)=f(z-6y)$ , kde $f$ je lubovolna. Podobne pre vyraz $xe^{-y}$ a uz staci iba nahliadnut, ze najvseobecnejsia taka funkcia je $F(x,y,z)=\phi(z-6y,xe^{-y})$ . Tie vyrazy sa hladaju v podstate tak, ze vyjadris $t$ z jednej z rovnic a dosadis do ostatnych a upraces konstanty na jednu stranu a zvysok na druhu a potom mozes urobit este nejake esteticke upravy.