Matematické Fórum

ajeto · 11. 12. 2012 14:21

Dobrý deň,

úloha znie nasledovne:

Dokážte, že pre funkciu $f$ spojitú na obdĺžniku $[a,b]\times [c,d]$ a ľubovoľné $\varepsilon >0$
existuje $n \in \mathbb{N}$ a funkcie $f_1,\dots,f_n \in \mathcal{C}([a,b])$ a $g_1,\dots,g_n \in \mathcal{C}([c,d])$ tak, že

$\forall x \in [a,b]\,,\,y \in [c,d]\,:\bigg| f(x,y) - \sum_{j=1}^{n} f_j(x)g_j(y)\bigg|<\varepsilon$

Malo by to ísť urobiť "v reči" funkcionálnej analýzy,
môj jediný nápad bol skúsiť to nejak našiť na Weierstrassovu vetu
(polynómy sú husté v $\mathcal{C}([a,b])$ ) ale úspešný som nebol.

Vďaka za rady

kompik · 11. 12. 2012 14:35 — Editoval kompik (11. 12. 2012 14:35)

↑ ajeto:
Mali ste Stone-Weiersttrassovu vetu?

Toto je formulácia z Šalát-Švec-Neubrunn, Matematická analýza funkcií reálnej premennej, Veta 10.4.1.

Nech $X$ je kompaktný Hausdorffov priestor a nech $A\subseteq C(X,\mathbb R)$ je algebra funkcií, ktorá oddeľuje body množiny $X$ a do ktorej patrí nejaká konštantná funkcia. Potom $\overline A- C(X,\mathbb R)$ .

ajeto · 11. 12. 2012 22:16

vďaka ↑ kompik:
uff, okey
Takže to skusim načrtnúť podľa toho:

Za $X$ si vezmem asi $X=[a,b]\times[c,d]$ ,

za $A$ zrejme množinu funkcií dvoch premenných typu $h(x,y)=\sum_{j=1}^{n}f_j(x)g_j(x)\,,\,n \in \mathbb{N}\,,\,f_k \in \mathcal{C}([a,b])\,,\,g_k \in \mathcal{C}([c,d])\,,\,k=1,\dots n$

a potom ukázať že:

- je to štrukturálne algebra (na to stačí uk. že $A$ je podpriestor $\mathcal{C}(X,\mathbb{R})$ a $f \in A\,,\,g \in A \Rightarrow fg \in A$ ?? či niečo viac?)

- obsahuje konštantnú funkciu a oddeľuje body v $X$

a potom podľa S-W vety bude platiť to čo sa má dokázať, lebo $A$ bude hustá v ${C}(X,\mathbb{R})$

takto to bolo myslené?