Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#2 11. 12. 2012 13:09
Re: podobnost matic - důkaz
↑ Honza90:
Iná možnosť by bola nájsť Jordanov normálny tvar. Ak v oboch prípadoch bude rovnaký, tak sú obe matice podobné s tou istou maticou.
WolframAlpha tvrdí, že vyjde rovnaký:
http://tinyurl.com/dyw4b4s
http://tinyurl.com/clvdok4
My by sme ale radi ten Jordanov tvar zistili bez použitia takýchto nástrojov - prvý krok by mohol byť zistiť vlastné hodnoty. To by si vedel spraviť?
Offline
#4 11. 12. 2012 13:47
Re: podobnost matic - důkaz
↑ Honza90:
Ďalší postup by bol:
* hľadáme vlastné vektory - vlastný podpriestor k 2 nám vyjde jednorozmerný
* z toho vieme, že bude jediný Jordanov blok
* keďže je to matica 2x2, tak už vieme, že celá matica bude tento Jordanov blok
Jordanov tvar vyjde 
Keď by si v oboch prípadoch navyše ešte dorátal zovšeobecnené vlastné vektory, tak by si z nich vedel zostaviť maticu prechodu medzi danou maticou a J, a z tých dvoch matíc prechodu nájsť aj maticu prechodu medzi pôvodnými maticami.
Ale podľa toho, čo píšeš, sa zdá, že to od Vás chcú nejako inak. (Aj keď na prvý pohľad nejaký výrazne odlišný spôsob nevidím.) Minimálne ak ste sa ešte neučili nič o Jordanovom tvare, tak by sa toto nedalo použiť.
Offline
#5 11. 12. 2012 13:54
Re: podobnost matic - důkaz
kompik napsal(a):
Ale podľa toho, čo píšeš, sa zdá, že to od Vás chcú nejako inak. (Aj keď na prvý pohľad nejaký výrazne odlišný spôsob nevidím.) Minimálne ak ste sa ešte neučili nič o Jordanovom tvare, tak by sa toto nedalo použiť.
Samozrejme dalo by sa postupovať aj tak, že hľadáš matice spĺňajúce PA=BP. (Túto rovnosť dostaneš z A=P^-1BP.)
V rovnosti PA=BP máš dané matice A,B a na prvky matice P sa môžeš pozrieť ako na neznáme. Čiže dostaneš 4 rovnice so 4 neznámymi. Ich vyriešením nájdeš maticu P.
Keďže robíš s maticou 2x2, tak to nie je až taký pracný postup. (Pri maticiach 3x3 by si už mal 9 neznámych.) Možno pre takýto malý rozmer to bude dokonca menej náročné ako posupovať cez Jordanov tvar.
Offline
#6 11. 12. 2012 15:12
Re: podobnost matic - důkaz
↑ kompik:
Ano, takhle nějak máme postupovat, na první pohled se mi soustava PA=BP zdála neřešitelná, tak jsem zpanikařil. Ještě by mě zajímalo, co přesně je zobecněný vlastní vektor? Vím, jak se používá při řešení difr. rovnic, ale není mi jasné, co to vlastně je.
Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert
Offline
#7 11. 12. 2012 15:27
Re: podobnost matic - důkaz
Honza90 napsal(a):
↑ kompik:
Ano, takhle nějak máme postupovat, na první pohled se mi soustava PA=BP zdála neřešitelná, tak jsem zpanikařil. Ještě by mě zajímalo, co přesně je zobecněný vlastní vektor? Vím, jak se používá při řešení difr. rovnic, ale není mi jasné, co to vlastně je.
Vlastný vektor k vlastnému číslu c je vektor taký, že Ax=cx, čo je to isté ako (A-cI).x=0.
Zovšeobecnený vlastný vektor znamená, že (A-cI)^n.x=0 pre nejaké n.
Špeciálne napríklad ak n=2, znamená to, že (A-cI)(A-cI)x=0, a teda (A-cI)x je vlastný vektor.
Teda sa to dá inak povedať aj takto:
* x0 je vlastný vektor znamená Ax0=cx0.
* K nemu prislúchajúci zovšeobecnený vlastný vektor (ak existuje) bude vektor taký, že Ax1=cx1+x0
* Ďalej (ak existuje) môžeme nájsť ďalší zovšeobecnený vlastný vektor x2 taký, že Ax2=cx2+x1.
Atď.
Oveľa viac si môžeš prečítať na Wikipedii.
Offline