Matematické Fórum

Figa · 12. 12. 2012 11:54

Ahoj jak na tento integrál?
$\frac {dx}{\sqrt[4]{sin^3x*cos^5x}}$

N3st4 · 12. 12. 2012 12:57

Ahoj. Toto by ti mohlo pomôcť. Po slovensky ide o univerzálnu trigonometrickú substitúciu. z=tg(x/2)
Hodím tu link, kde je to celé vysvetlené, je tam aj dôkaz ako substituovať sin(x) a cos(x).
http://planetmath.org/encyclopedia/Univ … ution.html

rleg · 12. 12. 2012 13:30

↑ N3st4:
To vede na dost nechutný tvar

$\frac{2}{\sqrt[4]{8}}\int\frac{1+t^2}{$1-t^2$\cdot\sqrt[4]{t^3$1-t^2$}} \d x$
zhruba potud jsem to dělal společně s MAWem (snad jsem to opsal dobře), pak už MAW nestíhá.

Cheop · 12. 12. 2012 13:44 — Editoval Cheop (12. 12. 2012 13:49)

↑ N3st4:
Zkusil bych substituci:
$\text{tg}\,x=t$ a pak:
$dx=\frac{1}{1+t^2}\\\sin\,x=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\\\cos\,x=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$

rleg · 12. 12. 2012 14:00 — Editoval rleg (12. 12. 2012 14:57)

↑ Cheop:

To vypadá perfektně, vyšlo mi $4\cdot\sqrt[4]{\tan(x)}+C$

Jak tě to napadlo? Obecně mám ve skriptech, že substituci tg(x) používat spíš jen u sudých mocnin sinu a kosinu.

Cheop · 12. 12. 2012 14:11

↑ rleg:
No já nejdříve zkoušel obecnou substituci tg(x/2) =t a to bylo maso
a talk jsem zkusil výše uvedenou substituci a pěkně se to vyvrbilo.
Výsledek mám stejný

Figa · 12. 12. 2012 19:19

Děkuji. Nemohli by jste mi prosím napsat kompletní řešení? Vůbec mi to nevychází. Děkuji.

N3st4 · 12. 12. 2012 19:58 — Editoval N3st4 (12. 12. 2012 19:58)

$\int \frac{dx}{\sqrt[4]{cos^{5}(x)sin^{3}(x)}}$
$\int \frac{\frac{dt}{1+t^{2}}}{{\sqrt[4]{\frac{1\cdot t^{3}}{(1+t^{2})^{5/2}\cdot (1+t^2)^{3/2}}}}}$
$\int \frac{dt}{t^{3/4}}$
$4t^{1/4}+C=4\cdot tan^{1/4}(x)+C$