Matematické Fórum

honyik · 12. 12. 2012 00:41

Zdravím,
potřeboval bych prosím poradit s tímto příkladem. Přesněji, jak počítat s absolutní hodnotou, abych došli k těmto výsledkům?

Rumburak

Zdravím.

Tady se použije rozklad

(1) $x^2 - 9 = (x+3)(x-3)$ ,

odtud body $x_{1,2} = \mp 3$ . Při počítání těch limit nutno sledovat znaménka závorek v (1).
Např. pro $x \to -3_{-}$ máme $x < -3 < +3$ , takže obě závorky budou záporné a tedy

$|x^2 - 9| = |(x+3)(x-3)| = |x+3|\cdot |x-3| = \\=(-1) (x+3)\cdot(-1)(x-3) =\\= (-1)^2\cdot(x+3)\cdot(x-3) =\\= (x^2 - 9)$

a zlomek můžeme tímto výrazem vykrátit. Obdobně v případě $x \to +3_{+}$ , kdy obě závoky jsou kladné.

Případy $x \to -3_{+}$ , $x \to +3_{-}$ jsou rovněž obdobné s tím, že znaménka závorek se navzájem liší,
takže $|x^2 - 9| =-(x^2 - 9)$ a po vykrácení tam zbyde součinitel $(-1)$ .

honyik · 12. 12. 2012 19:02

Ok, díky moc.

Mám zde podobný příklad:

$f(x) = \frac{ (x-\frac{\pi }{2})\cdot cos (x)}{|x-\frac{\pi }{2}|}$

Hromadný bod je $\frac{\pi }{2}$ a po dosazení při ověřování limit vychází: $-\infty$ a $\infty$

Výsledky ale ukazují: 0 a 0

Mohl by mi opět někdo poradit, jak se dostat k správným výsledkům?

Sk1X1 · 12. 12. 2012 20:06

Pokud se nepletu, tak stačí použít stejný postup jako u předchozího příkladu. Tzn. z absolutní hodnoty udělat závorku, pak vykrátit a zbyde cos, který se pro hodnotu $\pi /2$ rovná 0. Tudíž výsledek je 0.

honyik · 12. 12. 2012 20:23 — Editoval honyik (12. 12. 2012 20:57)

Jo jasný, díky. Byl jsem o krok dopředu a zapomněl jsem, že bych mohl upravovat ;)

Pak tu mám dále tento příklad, spíše mi dělá problém, jak upravit arctan.

$\lim_{x\to\pi -}\frac{2 \cdot sin (x)}{arctan (|x+\pi |)} =....=2$

Ví někdo jak na to prosím?

Rumburak · 13. 12. 2012 09:36

Zde se může použí substituce $x + \pi = y$ a vztahy

$\sin (y-\pi) = -\sin y$ ,
$\arctan\, |y| = |\arctan\, y|$ (plynoucí z toho, že arctg je lichá rostoucí funkce) ,
$\lim_{w\to 0}\frac{\sin w}{w} = \lim_{w\to 0}\frac{\tan w}{w} = 1$

a také věta o limitě složené funkce .

honyik · 13. 12. 2012 11:00 — Editoval honyik (13. 12. 2012 11:00)

↑ Rumburak:

Omlouvám se, ale opsal jsem ten příklad špatně, znaménko mezi x a pí má být opačné:

$\lim_{x\to\pi -}\frac{2 \cdot sin (x)}{arctan (|x-\pi |)} =....=2$

Mění to něco na postupu?

Rumburak

↑ honyik:

Mění to něco na postupu?

V principu ne, v detailech ano . :-)

EDIT. Ješte bych měl dodat, že ve svém předchozím příspěvku na toto téma jsem předpokládal $x\to-\pi_{-}$ .
Že tam to minus před $\pi$ ve skutečnosti není (takže řešení úlohy pak je triviální), jsem přehlédl.

Matematické Fórum

#1 12. 12. 2012 00:41

Spojitost - absolutní hodnota

#2 12. 12. 2012 15:16 — Editoval Rumburak (12. 12. 2012 15:27)

Re: Spojitost - absolutní hodnota

#3 12. 12. 2012 19:02

Re: Spojitost - absolutní hodnota

#4 12. 12. 2012 20:06

Re: Spojitost - absolutní hodnota

#5 12. 12. 2012 20:23 — Editoval honyik (12. 12. 2012 20:57)

Re: Spojitost - absolutní hodnota

#6 13. 12. 2012 09:36

Re: Spojitost - absolutní hodnota

#7 13. 12. 2012 11:00 — Editoval honyik (13. 12. 2012 11:00)

Re: Spojitost - absolutní hodnota

#8 13. 12. 2012 15:29 — Editoval Rumburak (13. 12. 2012 15:46)

Re: Spojitost - absolutní hodnota

Zápatí