Matematické Fórum

vaanha · 03. 12. 2008 18:00

Zdravím. Mám problém s příkladem, kde mám zjistit rovnici elipsy podle její excentricity a souřadnic bodu, který jí náleží. Zadání je následující:

"Napište rovnici elipsy, která má excentricitu e=\sqrt{2}, její osy leží v osách x,y a která prochází bodem M[2,\sqrt{6}]. Dále určete souřadnice vrcholů a ohnisek. Vypočtěte úhel průvodičů bodu M."

Věřím, že znalost její rovnice mi pomůže odhalit ostatní výpočty, které mám získat. Předem díky úspěšnému řešiteli.

Marian · 04. 12. 2008 13:17 — Editoval Marian (04. 12. 2008 13:19)

↑ vaanha:
Nacházejí-li se obě osy elipsy na souřadnicových osách, je nutně $S=[0,0]=O$ . Proto rovnice elipsy má tvar
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$
Pro excentricitu elipsy platí identita $b^2+e^2=a^2$ . Odtud dosazením zadané hodnoty excentricity a úpravou vztah $b^2=a^2-2$ . Elipsa má také procházet bodem $M=[2,\sqrt{6}]$ . Celkem po dosazení do rovnice elipsy máme
$\frac{2^2}{a^2}+\frac{(\sqrt{6})^2}{a^2-2}=1.$
V této rovnici přeznačíme $A=a^2$ a máme
$\frac{4}{A}+\frac{6}{A-2}=1.$
Odstraněním zlomků dostaneš kvadratickou rovnici ze které vypočítáš hodnotu A>0. Zpětně lze pak snadno dopočítat hodnotu a>0 a tudíž ze vztahu $b^2=a^2-2$ taktéž hodnotu b>0.

Zbytek snad zpracuješ sám.

Matematické Fórum

#1 03. 12. 2008 18:00

Rovnice elipsy.

#2 04. 12. 2008 13:17 — Editoval Marian (04. 12. 2008 13:19)

Re: Rovnice elipsy.

Zápatí