Matematické Fórum

macher1 · 15. 12. 2012 16:35

Dobrý deň

Mám vypočítať približnú hodnotu
$\sqrt[3]{0,9}$
pomocou aproximácie funkcie
$\sqrt[3]{1-x}$
Taylorovým polynómom 2. stupňa v strede 0. Keďže si nie som istý tým či som správne pochopil zadanie, riešil som to takto:
$x = 0,9$
$x_{0} = 1$
$f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$
$f'(x) = \frac{1}{3}x^{\frac{-2}{3}}$
$f''(x) = \frac{-2}{9}x^{\frac{-5}{3}}$
$f(x)\approx f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^{2}$
$1+\frac{x-1}{3}-\frac{(x-1)^{2}}{9}$
$1+\frac{0,9-1}{3}-\frac{(0,9-1)^{2}}{9}$
$1-\frac{1}{30}-\frac{1}{900} = \frac{869}{900}\doteq 0,9655$
Riešil som to podľa vzorca
$f(x)\approx f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}$
Výsledok by mal byť správny, ale nerozumiem tomu "stredu" pri Taylorovom polynóme, takže domnievam sa, že som to vypočítal inak než úloha chcela. Mohol by niekto môj výpočet poopraviť, prosím?

Ďakujem

LukasM · 15. 12. 2012 16:45 — Editoval LukasM (15. 12. 2012 17:22)

↑ macher1:
V zadání chtěli použít funkci $\sqrt[3]{1-x}$ , tys použil $f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$ . Takže ano, vypočítal jsi to jinak.

Edit: ano, to mi nevyšlo, viz Brano dole. Původně jsem ty funkce napsal obráceně, když jsem sem kopíroval ten TeX. Díky Branovi za opravu.

Brano · 15. 12. 2012 16:48

Vypocitane to mas spravne, len v zadani sa to chcelo inak. Mal si aproximovat funkciu $f(x)=\sqrt[3]{1-x}$ pre $x=0.1$ a pouzit rozvoj v $x_0=0$ . Mozes si to skusit a uvidis, ze clen po clene bodes mat tie iste cisla, len budu inak interpretovane, vysledok bude samozrejme ten isty.

Brano · 15. 12. 2012 16:49

↑ LukasM:
naopak :-)

macher1 · 15. 12. 2012 18:22

Niečo mi tu nesedí:
$x = 0,1$
$x_{0} = 0$
$f(x)\approx f(0)+f'(0)(0,1-0)+\frac{f''(0)}{2!}(0,1-0)^{2}$
$1+\frac{1}{3}.\frac{1}{10}+\frac{\frac{-2}{9}}{2}.\frac{1}{100}$
$1+\frac{1}{30}-\frac{1}{900}=\frac{929}{900}\doteq 1,0322$
Pred tou 1/30 má byť mínus. Kam sa podelo? Alebo kde som sa sekol?