Matematické Fórum

KateřinaDardová · 14. 12. 2012 16:12 — Editoval jelena (14. 12. 2012 21:06)

Příklad zní takto:
Určete $h$ tak, aby chyba obdelníkového pravidla pro výpočet $I=\int_{0}^{\pi }\sin xdx$ byla nejvýše $10^{-4}$ .
tzn., že musí platit: $-\frac{(b-a)}{24}\cdot h\cdot max|f^{\prime \prime}(x)| x\in \langle0,\pi \rangle\le 10^{-4}$ (Jelena - oprava TeX)
ale max 2.derivace (tedy -sinx) na intervalu $x\in \langle0,\pi\rangle$ je přece 0, kdybych brala celou fci tak je max 1...co je správně? Díky za radu

KateřinaDardová · 14. 12. 2012 16:19

musí platit:
-(b-a)/24*h^2* max 2.derivace f(x) v absolutní hodnotě, x je z uzavřeného intervalu od 0 do pí $\le$ $10^{-4}$

jelena · 14. 12. 2012 21:12

↑ KateřinaDardová:

Zdravím,

opravila jsem Tvůj zápis v TeX - pro zápis derivace můžeš používat ^{prime}. Souhlasí to?

Pokud je třeba najít maximum 2. derivace, potom se hledá nulová hodnota 3. derivace (zřejmě jen nepozornost v úvaze) nebo tak, jak navrhuješ, - maximální hodnota 2. derivace na uvedeném intervalu z vlastností funkce sin(x), což je pro pi/2 a |-sin(x)|=1. Je to v pořádku? Děkuji.

KateřinaDardová · 15. 12. 2012 14:03

↑ jelena:
Souhlasí, díky, sice nevím co myslíš tou nulovou hodnotou 3. derivace, ale došlo mi, že jsem nevzala v úvahu tu absolutní hodnotu, teď to samozřejmě vyjde 1. Děkuji

jelena · 15. 12. 2012 19:17 — Editoval jelena (15. 12. 2012 19:58)

↑ KateřinaDardová:

není za co.

Napsala jsi:

ale max 2.derivace (tedy -sinx) na intervalu $x\in \langle0,\pi\rangle$ je přece 0

rozuměla jsem, že jsi položila $-\sin (x)=0$ a našla řešení $x=0+k\pi$ (tedy jako vyšetření extrému funkce pomocí derivace). Ale zřejmě jsi jen určila maximální hodnotu, kterou může $-\sin(x)$ na intervalu nabývat. A neuvážila absolutní hodnotu, jak upřesňuješ v dalším příspěvku.

V každém případě pro vyšetření maxima 2. derivace požadované pro použití do vzorce chyby můžeme v případě "složitějšího zápisu" 2. derivace považovat 2. derivaci za samostatnou funkci $f^{\prime \prime}(x)=h(x)$ a vyšetřujeme extrémy $h(x)$ , jak je zvykem z průběhu funkce. Tedy s použitím 1. derivace $h^{\prime}(x)$ , což je zároveň 3. derivace f(x). Jelikož hledáme extrém na intervalu, tak přistupujeme jako ke hledání globálního extrému na intervalu.

Zde však byla 2. derivace známou funkci, u které maximum se určoval jen z vlastností funkce.

Věřím, že je všechno objasněno. Lze označit za vyřešené? Děkuji.