Matematické Fórum

berq · 15. 12. 2012 20:09

Jak určit součet této řady?

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}$

jarrro · 15. 12. 2012 20:47

$$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x^{n}}{n}}$^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty}{x^{n-1}}$

berq · 15. 12. 2012 22:05 — Editoval berq (15. 12. 2012 22:09)

Nemá tam být integrál?

I kdybych to udělal, tak bych pak došel k:

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}$
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^nx}{n}$

$x\sum_{n=1}^{\infty }\int_{}^{}x^{n-1}$
$x\int_{}^{}\sum_{n=1}^{\infty }x^{n-1}$

Ta řada je vlastně geometrická řada s kvocientem q=x, jenže to můžu sečíst jen pokud $|x|<1$ ale v mém případě je vlastně $x=-1$ ?

Brano · 15. 12. 2012 23:45

↑ jarrro:
Je to pekna rada a vedie k vysledku, len ma tak napadlo, ze rad $\sum x^n$ aj $\sum \frac{x^n}{n}$ konverguje absolutne rovnomerne pre $|x|<1$ a vieme, ze ten druhy konverguje (relativne) pre $x=-1$ , ale z coho vieme, ze bude spojity v $x=-1$ sprava? Kedze toto sa tam vlastne pouziva.

user · 16. 12. 2012 01:19

Ahoj,
zkus rozepsat sumu na součet sum (aby v žádné nevystupovalo $(-1)^n$ .
Další znalosti, které použiješ jsou:
$\sum_{n=n_0}^{+\infty}a_n:=\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=n_0}^{n}a_k$
$\sum_{k=1}^{n}\frac1k=\ln n+\gamma_n &&\lim_{n\to\infty}\gamma_n =\gamma \in \mathbb{R}$

jarrro · 16. 12. 2012 10:13 — Editoval jarrro (16. 12. 2012 10:15)

↑ Brano:dobrá otázka (nepomohlo by robiť len konečné súčty a potom po dosadení za x mínus jednotku to zlimitiť?)
↑ berq:áno z toho vyplýva, že ten pôvodný rad je integrál z geometrického

Matematické Fórum

#1 15. 12. 2012 20:09

Sečíst řadu

#2 15. 12. 2012 20:47

Re: Sečíst řadu

#3 15. 12. 2012 22:05 — Editoval berq (15. 12. 2012 22:09)

Re: Sečíst řadu

#4 15. 12. 2012 23:45

Re: Sečíst řadu

#5 16. 12. 2012 01:19

Re: Sečíst řadu

#6 16. 12. 2012 10:13 — Editoval jarrro (16. 12. 2012 10:15)

Re: Sečíst řadu

Zápatí