Matematické Fórum

MaxDJs · 16. 12. 2012 15:34

Zdravím,

mám tunel skrz Zemi, kterým projíždí vlak, který je urychlován a brzděn gravitační silou. Zjistil, jsem že maximální rychlost se dá vypočítat pomocí harmonického kmitavého pohybu. Mohl by mi někdo poradit.

Zkoušel jsem odvodit vzorec, ale vrací mi to zase délku tunelu.

Tohle je ten vzorec

$delkaTunelu*\sin((uhlovaRychlost*(cas/4))+\pi*2)$

Mohl by mi někdo poradit vzorec? Byl bych moc vděčný.

Honza90 · 16. 12. 2012 19:13

↑ MaxDJs:
síla působící na objekt v místě y v čase t:
$F(t)=\frac{GmM(t)}{y(t)^{2}}$
$M(t)=\varrho \frac{4\pi y(t)^{3}}{3}$ , $\varrho$ je hustota Země
$F(t)=\frac{4Gm\pi\varrho y(t)}{3}$
$my''=\frac{4Gm\varrho \pi y}{3}$
$y''=\frac{4G\varrho \pi }{3}y$
$\omega ^{2=}\frac{4G\varrho \pi }{3}$
$y''+\omega ^{2}y=0$
řešíš ODR, počáteční podmínky: $y(0)=6378000, y'(0)=0$
obecné řešení:
$y=c_{1}\cos (\omega t)+c_{2}\sin (\omega t)$
partikulární řešení:
$y=6378000\cos (\omega t)$

Maximální rychlost bude ve středu planety, ten je $y=0$

MaxDJs · 16. 12. 2012 19:28

Tak tohle mi moc nepomohlo.

Dejme tomu, že tunel je dlouhý 1033349.1312860368 m. Maximální rychlost by podle výsledků měla být 640.5050055931955 m/s. Ale já nevím jak se k tomu výsledku dostat.

Honza90 · 16. 12. 2012 19:30

↑ MaxDJs:
Já to počítal s tím, že tunel vede přes střed Země.

MaxDJs · 16. 12. 2012 19:34

↑ Honza90:

Já právě potřebuji obecný vzorec pro libovolnou délku tunelu.

Honza90 · 16. 12. 2012 19:43

↑ MaxDJs:
jaký má ten tunel mít tvar, rovný?

MaxDJs · 16. 12. 2012 19:45

↑ Honza90:

Jojo je to přímý tunel

MaxDJs · 16. 12. 2012 21:57

a ten znak $\varrho$ znamená jakou hodnotu?

Honza90

$\varrho =5515 kg/m^{3}$
$G=6,67\cdot 10^{-11}$

Honza90

↑ MaxDJs:
Omlovám se, udělal jsem špatnou úvahu. Rovnice pro obecný tunel je:
$y=\frac{L}{2}\cos (\omega t)$
$\omega =\sqrt{\frac{4G\varrho \pi }{3}}$
$L$ délka tunelu
rychlost se snadno zjistí za pomoci derivace. nejprv se zjistí, za jak dlouho dojede vlak do středu tunelu:
$0=\frac{L}{2}\cos (\omega t) \Rightarrow \omega t=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=\frac{\pi }{2\omega }\doteq 1265s$
a zbávý jen dosadit:
$y'(1265)=-\frac{L}{2}\omega \sin (\omega t)=-\frac{L}{2}\omega$