Matematické Fórum

panvicka · 16. 12. 2012 11:05

Dobré ráno, obracím se na vás s prosbou o radu s tímto příkladem.

$\int \sqrt{1-2x^2} ds$ (představte si u integrálu malé k dole)

kde k je $x^2+y^2+z^2 = 1, y=x, \ge 0, z \ge 0$

začínám asi takhle:
$x = t, y = t, z = \sqrt{1-2t^2}$

potom ds:
$ds = \sqrt{2+\frac{2t}{\sqrt{1-2t^2}}} = \sqrt{\frac{2}{1-2t^2}}$

dosazeno zpet se zkrati:

$\int \sqrt{2} dt$

a tady končím protože jednak nevím jak určit meze pro t a za druhé mi to má vyjít 1, což z odmocniny ze dvou nevím jak získat. Mám to špatně asi :)

Děkuji za radu

Ještě znám polární souřadnice ale ty nevím jak použít na kouli a taky sférické, ale u těch bych už tuplem nevěděla co s mezema.

jelena · 16. 12. 2012 14:29

Zdravím,

v zadání je asi překlep u mezí: chybí něco místo otázníku $x^2+y^2+z^2 = 1, y=x, ?\ge 0, z \ge 0$ .

Máš polovinu sféry, nad rovinou xOy, rovinu y=x (kolmo k podstavě), která rozřízne polosféru na čtvrtiny sféry (a chybějící podmínka upřesní, kterou čtvrtinu použijeme). Parametrizaci - to bych neřekla (nebo přesně nevím, co si představuješ pod parametrizaci, možná po doplnění chybějící bude jasné). Buď nechat tak, jak je a $z$ je omezeno $0$ a $\sqrt{1-y^2-x^2}$ . Nebo do sférických souřadnic. Ještě upřesní zadání, prosím.

panvicka

aha, no má tam být x>=0, pardon

parametrizaci... no taky nevím co tím, myslím, takhle to máme jako "kroky pro řešení křivkového integrálu"

jelena · 16. 12. 2012 20:12

↑ panvicka:

děkuji za upřesnění, omlouvám se, že odpovídám až teď - snad ještě použiješ. Pokud je x vetší 0. potom máš křivku pouze nad 1. kvadrantem, přesně nad y=x. Jelikož je to úsečka=poloměr sféry, délka úsečky je 1 a koncové souřadnice můžeš vypočíst z pravoúhlého trojúhelníku $1^2=x_k^2+y_k^2$ (to jsou koncové souřadnice úsečky), přičemž $x_k=y_k$ , tedy koncový bod úsečky má souřadnice $[\frac{\sqrt{2}}{2};\, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ , tedy $t$ musí být od $0$ do $\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Ke stejnému závěru dojdeš i použitím goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku.

Pokud bys chtěla zkusit sférické souřadnice, tak zde v odkazu na str. 98 (příklad 9) je celkem podrobně.

Je to tak v pořádku? Děkuji.