#1 03. 07. 2007 07:47
Maticová rovnice
Tak teď stojím před dalším těžkým úkolem.
Vypočtěte obecně matici X z maticové rovnice: A*X+2A-A^2=2X
1 2
Proveďte zkoušku pro A = 3 4
To je určitě ten typ rovnice, kde se používá inverzní funkce, ale já vůbec nevím jak ji tam mám použít. Prosím o radu.
Offline
#2 03. 07. 2007 10:15
Re: Maticová rovnice
Maticove rovnice se resi velmi podobne jako obycejne rovnice. Je treba akorat davat pozor na to, ze soucin matic neni obecne komutativni, tedy A*X neni to same co X*A. Proto pokud rovnici nasobim nejakou matici, musim vzdy rict, jestli ji nasobim zprava nebo zleva. Takze pojdem si zaupravovat:
A*X + 2A-A^2=2X
A*X - 2X = A^2 - 2A
(A - 2)*X = (A - 2)*A
ted celou rovnici zleva vynasobim matici inverzni k (A - 2). Tim dostanu:
(A - 2)^-1*(A - 2)*X = (A - 2)^-1*(A - 2)*A
I*X = I*A
X = A
A skutecne, kdyz do puvodni rovnice dosadim A za X, vyjde mi
A*A + 2A - A^2=2A
2A = 2A
Tedy jsme rovnici vyresili spravne a nemusime ani delat zkousku pro nejakou konkretni matici A.
Pozn. Nejsem si jist, co myslis tou inverzni funkci. Moznas chtela rict spis inverzni matice :-)
Nothing in the world that's worth having comes easy.
Always do what you are most afraid of.
Offline
#5 02. 12. 2007 20:44
- Kondr
- Veterán
- Místo: Linz, Österreich
- Příspěvky: 4247
- Škola: FI MU 2013
- Pozice: Vývojář, JKU
- Reputace: 38
Re: Maticová rovnice
Nejdřív upravíme pravou stranu
-1 2 12 5
1 0 X = 2 -3
1 3 23 0
A teď to vynásobíme zleva maticí
0 1 0
0 -1 1
1 1 0
Dostaneme
1 0 2 -3
0 3 X= 21 3
0 2 14 2
A opět vynásobíme zleva maticí
1 0 0
0 1/3 0
0 0 1/2
Dostaneme (*)
1 0 2 -3
0 1 X= 7 1
0 1 7 1
Všechny doposud uvedené úpravy byly ekvivalentní. Teď provedeme jednu důsledkovou:
vyškrtneme poslední řádek:
1 0 2 -3
0 1 X= 7 1
Na levé straně je matice X násobená jednotkovou maticí, proto
X=2 -3
7 1
Pro korektnost musíme ještě ukázat, že nalezená matice vyhoví (*).
Je tomu rozumět? Pokud ti přijde násobení maticemi moc divoké, můžeš si to představit jako přičítání/odčítání příslušných řádků v matici, ale na popis je to jednodušší takto.
BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy
Offline