Matematické Fórum

22.12.2012 · 17. 12. 2012 11:24

Ahoj, mohl by mi nekdo prosim zase napsat zbytek postupu pri dokonceni teto ulohy? Myslím že to mám zpracované asi do poloviny. Dekuju predem.

$l_{0}..............M$
$l+x.........m(x)$
$\frac{l+x}{l_{0}}=\frac{m(x)}{M}$
$m(x)=M\cdot \frac{l+x}{l_{0}}$
$M\cdot d^2x=\frac{l+x}{l_{0}}\cdot M\cdot g$
$d^2x=\frac{l+x}{l_{0}}\cdot g=\frac{gl}{l_{0}}+\frac{gx}{l_{0}}$
$d^2x-\frac{gx}{l_{0}}=\frac{gl}{l_{0}}$
$\Rightarrow a)d^2x-\frac{gx}{l_{0}}=0\Rightarrow x=C_{1}e^{\frac{g}{l_{0}}t}+C_{2}e^{-\frac{g}{l_{0}}t}$
$\Rightarrow b)d^2x-\frac{gx}{l_{0}}=\frac{gl}{l_{0}}\Rightarrow x=-l$
$x=C_{1}e^{\frac{g}{l_{0}}t}+C_{2}e^{-\frac{g}{l_{0}}t}-l$

Indie · 17. 12. 2012 16:46

Nerozumiem úplne tomu 4. vzorcu. Malo by tam pravdepodobne byť $\frac{m}{M}=\frac{l}{l_0}$ , a keď si to dosadíš do rovnice $mg=Ma$ , vyjde ti rovnica $\frac{d^2x}{dt^2}-g\frac{x}{l_0}=0$ . Tvar x bude $x=C_{1}e^{\sqrt{\frac{g}{l_{0}}} t}+C_{2}e^{-\sqrt{\frac{g}{l_{0}}}t}$ .

Odtiaľ to už nemusíš počítať zložito, stačí ak dosadíš počiatočné podmienky. Keďže na začiatku bolo x rovné l , vyjde ti že $l=c_1+c_2$ .
Budeš potrebovať ešte druhú rovnicu na dopočítanie $c_1$ a $c_2$ , a to rýchlosť. Tú dostaneš deriváciopu tohto výrazu $x=C_{1}e^{\sqrt{\frac{g}{l_{0}}} t}+C_{2}e^{-\sqrt{\frac{g}{l_{0}}}t}$ , pričom $v_0=0$ .

Vychádza to takto?

Revolution

↑ Indie:Mohla bys mi prosím napsat jak z $x=C_{1}e^{\sqrt{\frac{g}{l_{0}}} t}+C_{2}e^{-\sqrt{\frac{g}{l_{0}}}t}-l$ získat řešení které je učebnici: $x=l(cosh\sqrt{\frac{g}{l_{0}}}t-1)$ ? Díky

LukasM · 17. 12. 2012 23:33

↑ Revolution:
Souhlasím s tvým postupem včetně čtvrtého vzorce. Pokud chceš z $x=C_{1}e^{\sqrt{\frac{g}{l_{0}}} t}+C_{2}e^{-\sqrt{\frac{g}{l_{0}}}t}-l$ získat $x=l(cosh\sqrt{\frac{g}{l_{0}}}t-1)$ , tak si především z počátečních podmínek dopočítej $C_1,C_2$ . Pak už je to jednoduchá úprava, vzejde z toho nějaký součet dvou exponenciál který se dá nahradit tou funkcí cosh, a to přímo podle její definice.

Revolution · 18. 12. 2012 00:06

↑ 22.12.2012:Jo, vyjde to, díky. Mimochodem tento příklad máme za úkol, tak mne napadá, ty jsi z VUT?

22.12.2012 · 18. 12. 2012 09:39

↑ Revolution:Ne, jsem na CVUT.

Matematické Fórum

#1 17. 12. 2012 11:24

Dynamika-lano

#2 17. 12. 2012 16:46

Re: Dynamika-lano

#3 17. 12. 2012 23:23 — Editoval Revolution (17. 12. 2012 23:24)

Re: Dynamika-lano

#4 17. 12. 2012 23:33

Re: Dynamika-lano

#5 18. 12. 2012 00:06

Re: Dynamika-lano

#6 18. 12. 2012 09:39

Re: Dynamika-lano

Zápatí