Matematické Fórum

Meglun · 18. 12. 2012 20:53 — Editoval Meglun (18. 12. 2012 21:01)

ahoj, nevím jak vyřešit limitu
$\lim_{x\to\infty}\frac{(\sqrt{n^2+1}+n)^2}{\sqrt[3]{n^6+1}}$

podle wolframu vyjdou 4

user · 18. 12. 2012 20:58

Ahoj,
pomůže vytknutí nejvyšší mocniny n z čitatele a jmetnovatele.

vanok · 18. 12. 2012 21:02 — Editoval vanok (18. 12. 2012 21:03)

Ahoj ↑ Meglun:
na vypocet limity treba vediet v akom bode ju treba najst!
Napr v okoli $+\infty$
$\frac{(\sqrt{n^2+1}+n)^2}{\sqrt[3]{n^6+1}}=\frac {n^2(\sqrt{1+\frac 1{n^2}}+1)^2}{n^2\sqrt[3]{1+\frac 1{n^6}}}$
Po zjednoduseni okamzite vidis ( v tomto prade), ze citatel ide k $2^2=4$ , a menovatel k $1$ .....

Meglun · 18. 12. 2012 21:13 — Editoval Meglun (18. 12. 2012 21:19)

↑ vanok:

čitatel mi vyšel zprávně, ale jmenovatel mi vyšel $n^4$
předpokládám, že v tvém druhém kroku mělo být ve jmenovateli vytkuto místo $n^2$ $n^6$

vanok · 18. 12. 2012 23:20

Ten vypocet sa robi takto:
$\sqrt[3]{n^6+1}= \sqrt[3]{n^6(1+\frac1{n^6})}$ $=n^2 \sqrt[3]{1+\frac 1{n^6}}$

pretoze vieme, ze $\sqrt[3]{n^6}=n^{\frac 6 3}=n^2$

Meglun · 19. 12. 2012 09:21 — Editoval Meglun (20. 12. 2012 14:37)

↑ vanok:
však v čitateli máme vytknuto před celý výraz a to i před odmocninu,
tak proč ve jmenovateli nevytýkám také před odmocninu, ale jen před výraz v odmocníně:

Meglun · 20. 12. 2012 14:37

tím myslím $\sqrt[3]{n^6+1}= \sqrt[3]{n^6(1+\frac1{n^6})}$

jelena · 21. 12. 2012 00:20 — Editoval jelena (21. 12. 2012 00:21)

↑ Meglun:

Zdravím,

nejdřív vytkneš před výraz v odmocnině: $\sqrt[3]{n^6+1}= \sqrt[3]{n^6$1+\frac1{n^6}$}$
potom před odmocninu: $\sqrt[3]{n^6$1+\frac1{n^6}$}=n^2\sqrt[3]{1+\frac1{n^6}}$

jelikož máme $\sqrt[3]{n^6(1+\frac1{n^6})}=(n^6)^{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt[3]{1+\frac1{n^6}}$

V čitateli máš: $$\sqrt{n^2+1}+n$^2=$n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+n$^2=$n\(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1$\)^2$ atd.

V pořádku? Děkuji.