Matematické Fórum

↑ drabi:

K tej dvojke:
Predpokladaj že taký prvok obsahuje. Teoreticky môže nastať 2 situácie:
a) permutácia obsahuje jeden cyklus dĺžky 10 - to ale nie je možné, lebo najdlhší cyklus ľubovoľnej permutácie má dĺžku 8
b) permutácia obsahuje 2 disjunktné cykly s dĺžkami 2 a 5. Potom ale cyklus dĺžky 2 je jedna transpozícia a cyklus dĺžky 5 možno rozložiť na 4 transpozície. Dokopy teda dostaneš súčin 5 transpozícii. Čo je ale spor, pretože obsahuje iba permutácie s párnym počtom transpozícii.

Dostali sme teda, že nemôže obsahovať prvok rádu 10.

↑ drabi:

K tej jednotke
Napadá ma iba rozložiť si to na všetky podprípady (podľa počtu disjunktnych cyklov v permutácii)
a) permutácia obsahuje 1 cyklus    ==>   rád prvku je maximálne 8
b) permutácia obsahuje 2 cykly     ==>    rád permutácie je maximalne 5*3 = 15
c)  permutácia obsahuje 3 cykly     ==>    rád permutácie je maximalne 1*3*4 = 12
d)  permutácia obsahuje 4 cykly     ==>    rád permutácie je maximalne 1*2*2*3 = 6
...

Podľa tohto to vychádza, že maximálny rád prvku bude 15, ale neviem ako by sa to dalo nejak rozumnejšie dokázať.