Matematické Fórum

BlackBerry · 19. 12. 2012 15:30

Dobrý den,
prosím Vás o pomoc s testovou otázkou:

Zadání:
Bázi prostoru řešení homogenní soustavy lin. rovnic s maticí A zapíši do řádků matice B. Následně řeším soustavu Bx=0 a bázi prostoru řešení zapíši do řádků matice C. Jaký je vztah mezi řádky matic A, B a C?
(a) Počet řádků matice C je větší než počet řádků matice A
(b) Řádky matice C jsou lin. kombinacemi řádků matice A, ale může se stát, že nějaký řádek matice A není lin. kombinací řádků matice C.
(c) Řádky matice B jsou lin. kombinací řádků matice A nebo řádků matice C.
(d) Lin. obal řádků matice A je roven lineárnímu obalu řádků matice C.
(e) Žádné tvrzení z výše uvedených není obecně platné.

Pokus o řešení:
Domnívám se, že matice A by měla mít rozměry obecně mxn, matice B nx1, matice C pak 1x1 a tedy první možnost by neměla být správná. Proto se mi také nezdá možnost (d). Nevím ale, jestli s těmi rozměry matic uvažuji správně, protože množina řešení rovnice Bx=o by měla být rovna lin. obalu řádků matice A, což se mi nějak neshoduje? Momentálně se mi nejvíce zdá, že řádky matice C by mohly být lineární kombinací řádků matice A, protože . Tedy se přikláním k variantě (b).

Mohli byste mě prosím opravit a poradit?
Předem děkuji za každou odpověď!

kompik · 19. 12. 2012 15:39

↑ BlackBerry:
Vieš z toho, čo máš zadané, odvodiť $BA^T=0$ ? Čo táto rovnosť hovorí o riadkoch matice A (t.j. o stĺpcoch transponovanej matice A^T)?

BlackBerry · 19. 12. 2012 22:56

↑ kompik:
Omlouvám se, ale nepodařilo se mi dobrat výsledku.

kompik · 20. 12. 2012 08:41 — Editoval kompik (20. 12. 2012 08:42)

↑ BlackBerry:
Označme si riadky matice A ako vektory $\vec\alpha_1,\ldots,\vec\alpha_m$ , riadky matice $B$ nech sú $\vec\beta_1,\ldots,\vec\beta_n$ . (Používam riadkové vektory, čiže vektor s n súradnicami môžem chápať ako maticu $1\times n$ .)

To, že $\vec\beta_1,\ldots,\vec\beta_n$ sú riešenie sústavy z maticou A znamená, že $A\vec\beta^T=\vec0^T$ .
Pre maticu B potom dostaneme $AB^T=A(\vec\beta_1^T, \dots, \vec\beta_n^T)=(A\vec\beta_1^T,\dots,A\vec\beta_n^T)=(\vec0^T,\dots,\vec0^T)=0$ .
(Ak človek vidí niečo takéto prvýkrát, tak si treba rozmyslieť, že k-ty stĺpec súčinu je skutočne $A\vec\beta_k^T$ ; vyjde to priamo z definície súčinu.)

Lenže potom aj $BA^T=(AB^T)^T=0^T=0$ .
Na základe podobnej úvahy ako v predošlom odseku dostaneme, že riadky matice $A$ sú riešeniami homogénnej sústavy $B\vec{x}^T=\vec0^T$ .

A teraz by to bolo nejako treba spojiť s tým, čo vieš o matici C.