Matematické Fórum

lenibebi · 21. 12. 2012 15:31

Ahoj nějak mi nejde spočítat tahle limita
$lim_{x\Rightarrow 0} (1+\frac{sinx}{cos^{2}x+1})^{\frac{1}{sinh(\frac{sin^{2}x}{x})}}$

začla jsem tím, že jsem to rozepsala podle vzorečku $a^{x} = \mathrm{e}^{x\ln a}$ ale tím jsem pak nějak skončila, tak jestli by mi s tím někdo prosím nepomohl.

standyk · 21. 12. 2012 15:55

↑ lenibebi:

Ahoj
Skús takto: rozpíš si ten $sinh(x)$ podľa vzorca. Poupravuj. Využi limitu $\lim_{x \to 0}{(1+x)^{\frac1x}} = e$
Zase poupravuj. Využi $\lim_{x \to 0}{\frac{\sin{x}}{x}} = 1$ a potom už len dosaď a mala by si dostať výsledok.

lenibebi · 21. 12. 2012 16:22

ok hned to zkusím jen jaký vzorec na to sinh myslíš? je to tenhle?
$\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$
takhže bych z toho měla
$\frac{e^{\frac{sin^2x}{x}}+e^{-\frac{sin^2x}{x}}}{2}$

lenibebi · 21. 12. 2012 16:29

No dobře, tak jsem trošku počítala a výraz $\frac{1}{sinh\frac{sin^{2}x}{x}}$ jsem upravila na $\frac{1}{sinh\frac{sinx*sinx}{x}}$ tam jsem se pak zbavila sinx/x a přepsala jsem to do tvaru $\frac{2}{e^{sinx}+e^{-sinx}}$

je to zatím takhle správně?

standyk

↑ lenibebi:

skór som myslel použiť ten vzorec:
$\sinh{x} = \frac{e^{2x} - 1}{2 e^x}$

Tam bude potom ten výpočet trochu priamočiarejší. Ale správne si urobila že ten $\frac{\sin{x}}{x}$ môžeš dať preč.

lenibebi · 21. 12. 2012 16:39

Tim, že to má vyjít jako 0 a z toho teda 1? Zkusim to naflákat někam na internet do počítadla aby mi to dalo výsledek, ale nemyslim si že by to bylo takhle jednoduchý.

lenibebi · 21. 12. 2012 16:45

Má to vyjít $\sqrt{e}$

standyk

↑ lenibebi:

Áno taký výsledok Ti aj vyjde. Dostaneš výraz:
$\lim_{x \to 0}$1+\frac{1}{\frac{\sin{x}}{\cos^2{x} + 1}}$^{\frac{2 \cdot e^{\frac{\sin^2{x}}{x}}}{e^{2\cdot \frac{\sin^2{x}}{x} - 1}}} = \lim_{x \to 0} \color{red} $1+\frac{1}{\frac{\sin{x}}{\cos^2{x} + 1}}$^{\frac{\sin{x}}{\cos^2{x} + 1}\color{black} \cdot \frac{\cos^2{x} + 1}{\sin{x}} \cdot \frac{2 \cdot e^{\frac{\sin^2{x}}{x}}}{e^{2\cdot \frac{\sin^2{x}}{x} - 1}}} \color{black} = \lim_{x \to 0} \color{red}e\color{black}^{\frac{\cos^2{x} + 1}{\sin{x}} \cdot \frac{2 \cdot e^{\frac{\sin^2{x}}{x}}}{e^{\color{blue} 2\cdot \frac{\sin^2{x}}{x} - 1}}\color{black}}$

Zvyšok už hádam dorobíš. Použi to čo si spomínala - že $\frac{\sin{x}}{x}$ môžeš tiež "vyčiarknuť" a ešte využi to, že $\color{blue}e^{2a} - 1 = (e^a - 1) \cdot (e^a + 1)$

A posledná vec, ktorú využi je: $\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1$

Matematické Fórum

#1 21. 12. 2012 15:31

Limita

#2 21. 12. 2012 15:55

Re: Limita

#3 21. 12. 2012 16:22

Re: Limita

#4 21. 12. 2012 16:29

Re: Limita

#5 21. 12. 2012 16:33 — Editoval standyk (21. 12. 2012 16:35)

Re: Limita

#6 21. 12. 2012 16:39

Re: Limita

#7 21. 12. 2012 16:45

Re: Limita

#8 21. 12. 2012 18:45 — Editoval standyk (21. 12. 2012 18:47)

Re: Limita

Zápatí