Matematické Fórum

loxir · 22. 12. 2012 08:54

Dobrý den, můžete mi prosím napsat, jak mám řešit tento příklad? Děkuji moc za pomoc.

Dokažte že číslo $x=3-2\sqrt{5}$ je iracionální.

zdenek1 · 22. 12. 2012 09:41

↑ loxir:
Kdyby číslo $x$ bylo racionální, mohli bychom ho zapsat jako
$3-2\sqrt5=\frac pq$ , $p\in\mathbb Z$ , $q\in\mathbb N$ , $p,q$ nesoudělná.
to ale znamená, že
$\underbrace{3q}_{\mathbb N}-\underbrace{2q\sqrt5}_{\mathbb N}=\underbrace{p}_{\mathbb Z}$
číslo
$2q\sqrt5\in\mathbb N$
Protože $2$ i $q$ jsou přirozená čísla, muselo by být $\sqrt5\in\mathbb N$
Což není.
Takže předpoklad, že číslo $x$ je racionální vede ke sporu, a proto je $x$ iracionální.

check_drummer · 22. 12. 2012 21:44

↑ zdenek1:
Ahoj, to není přesné. Z toho, že $2q\sqrt5\in\mathbb N$ ještě neplyne, že musí být $\sqrt5\in\mathbb N$ . Např. pro $a:=2/3$ je také $9a \in\mathbb N$ , ale $a\notin\mathbb N$ .
Takže musíme dokázat, že $\sqrt5\notin\mathbb Q$ .

BakyX · 22. 12. 2012 22:55

Nech $3-2\sqrt{5}=\frac{p}{q}$ , kde $p$ je celé číslo a $q$ je prirodzené, pričom $(p,q)=1$ . Potom

$2 \sqrt{5} = 3-\frac{p}{q}$

$20=9+\frac{p^2}{q^2}-6\frac{p}{q}$

Preto nutne $\frac{p^2}{q^2}-\frac{6p}{q}=\frac{p^2-6pq}{q^2}$ je celé číslo, preto nutne

$q | p^2-6pq$ , tj. $q | p^2$ , čo je možné len pre $q=1$ . Avšak $3-2\sqrt{5}$ nie je celé číslo.