Matematické Fórum

laletka · 23. 12. 2012 08:16

Dobrý den poradíte mi prosím jak mám dokázat tento příklad?

Dokažte, že n různých přímek v rovině, z nichž žádné dvě nejsou rovnoběžné a žádné tři neprocházejí týmž bodem, rozdělí rovinu na $\frac{1}{2}(n^{2}+n+2)$ částí.

zdenek1 · 23. 12. 2012 08:40

↑ laletka:
Představ si, že už máš $n-1$ přímek, ty ti rozdělují rovinu na několik oblastí (zatím nevíme na kolik). Nyní přidáš $n$ -tou přímku. Ta má s danými přímkami $n-1$ průsečíků. Každým tím průsečíkem vstupuje do jedné oblasti, takže prochází celkem $n$ oblastmi (do $n-1$ vstupuje a z jedné vystupuje - když tak si udělej obrázek např. pro čtvrtou přímku).
A každou oblast, kterou prochází, rozdělí na dvě části, takže vlastně přidává $n$ nových částí.
Na počátku máš jednu oblast
1. přímka přidá 1
2. přidá 2
3. přidá 3

$n$ -tá přidá $n$
jedná se o součet
$1+1+2+3+\cdots n$
což je až na první jedničku součet aritmetické posloupnosti
$1+1+2+3+\cdots n=1+\frac{n(n+1)}2$

Arabela

Ahoj ↑ laletka:,
dôkaz môžeš urobiť matematickou indukciou.
1.
Pre n=1 platí, že rovina je rozdelená na dve časti. V tomto prípade je vzorec v poriadku - naozaj: $p_{1}=\frac{1}{2}(1^{2}+1+2)=2$
2.
Vyslovme indukčný predpoklad: Nech uvedený vzorec platí pre nejaké n=k, čiže platí
$p_{k}=\frac{1}{2}(k^{2}+k+2)$ .
Ukážeme, že za tohoto predpokladu platí tvrdenie aj pre n=k+1, čo znamená, že má platiť
$p_{k+1}=\frac{1}{2}((k+1)^{2}+(k+1)+2)$ ,
$p_{k+1}=\frac{1}{2}(k^{2}+3k+4)$ .
Naozaj. Aký je vzťah medzi $p_{k+1}$ a $p_{k}$ ?
Majme v rovine $p_{k}$ priamok takých, že žiadne dve nie sú rovnobežné a žiadne tri neprechádzajú tým istým bodom. Počet častí, na ktoré rozdelia rovinu, je $p_{k}$ . Teraz veďme v rovine ďalšiu priamku, a to tak, aby nebolo so žiadnou z daných priamok v rovine rovnobežná a ani neprechádzala žiadnym priesečníkom daných priamok. Zauvažujme si teraz, koľko nových častí roviny pribudne. Najskôr, koľko pribudne priesečníkov s danými priamkami.
Vieš to určiť?

Matematické Fórum

#1 23. 12. 2012 08:16

Matematický důkaz

#2 23. 12. 2012 08:40

Re: Matematický důkaz

#3 23. 12. 2012 08:46 — Editoval Arabela (23. 12. 2012 08:47)

Re: Matematický důkaz

Zápatí