Matematické Fórum

niko9 · 23. 12. 2012 19:07

prosím o radu s tímto příkladem.. příkládám i svůj postup.. výsledek má být $e^{-\frac{1}{2}}$
$\lim_{x\to \infty }(cos\frac{1}{x})^{x^{2}}=e^{lim_{x\to \infty }x^{2}ln cos(\frac{1}{x})}=e^{L}$

$L=\lim_{x\to\infty }x^{2}ln cos(\frac{1}{x})=\lim_{x\to\infty }\frac{ln cos(\frac{1}{x})}{\frac{1}{x^{2}}}$ dál jsem zkoušel použít lhostpitalovo pravidlo, ale nemůžu se dopracovat k žádnému výsledku.. děkuji za pomoc

kompik · 23. 12. 2012 19:14 — Editoval kompik (23. 12. 2012 19:15)

↑ niko9:
Skúsil by som posledný výraz prepísať ako $\frac{\ln\cos\frac1x}{\cos\frac1x-1}\cdot\frac{{\cos\frac1x-1}}{\frac1{x^2}}$ .

Potom už stačí vedieť vypočítať $\lim\limits_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}t$ a $\lim\limits_{t\to0} \frac{\cos t-1}{t^2}$ .

niko9 · 23. 12. 2012 19:22

↑ kompik:
aha, děkuji... jen nechápu jaktože tam potom bude limita $\lim_{t\to0}$ místo $\lim_{t\to\infty }$ ..to se mění vždy když se rozšíří zlomek ?

kompik · 23. 12. 2012 19:27 — Editoval kompik (23. 12. 2012 19:30)

↑ niko9:
Keď urobím substitúciu $t=\frac1x$ a $x\to\infty$ , tak $t\to 0$ . (Dokonca viem, že to pôjde k 0 sprava, takže by mi stačilo, keby existovala tá limita pre $t\to0^+$ .)

Podobne je to so substitúciou $t=\cos\frac1x-1$ , opäť mám $t\to 0$ pre $x\to\infty$ .

V podstate sa tam využíva veta o limite zloženej funkcie.

Matematické Fórum

#1 23. 12. 2012 19:07

derivace (lhospitalovo pravidlo)

#2 23. 12. 2012 19:14 — Editoval kompik (23. 12. 2012 19:15)

Re: derivace (lhospitalovo pravidlo)

#3 23. 12. 2012 19:22

Re: derivace (lhospitalovo pravidlo)

#4 23. 12. 2012 19:27 — Editoval kompik (23. 12. 2012 19:30)

Re: derivace (lhospitalovo pravidlo)

Zápatí