Matematické Fórum

PanTau · 25. 12. 2012 10:59

Ahoj, trénuji limity posloupnosti a dostal jsem se k tomuto příkladu:

Jde o to, že vůbec nevím jak začít s tím trojčlenem pod odmocninou.

Vím že kdyby tam byli pouze 2 členy jde to rozšířit tzv. chytrou jedničkou, ale co s trojčlenem?

Prosím o radu :-)

kompik · 25. 12. 2012 11:03

↑ PanTau:
Čo tak skúsiť rozšíriť $2n+\sqrt{5n^2+7n+4}$ ?

Mimochodom ak si človek všimne, že $\sqrt{5n^2+7n+4} \ge \sqrt{5}n$ pre $n\ge 0$ , tak hneď vidí
$2n-\sqrt{5n^2+7n+4} \le (2-\sqrt{5})n$
a pravá strana (horný odhad) konverguje k $-\infty$ .

PanTau · 25. 12. 2012 11:13

Ano, máš pravdu, nicméně matematika je můj nepřítel (snad tě tím neurazím, hihi :-)) - takže si hned tak nevšimnu a potřebuji výpočet.

Čím bych měl $2n+\sqrt{5n^2+7n+4}$ rozšířit?

kompik · 25. 12. 2012 11:16 — Editoval kompik (25. 12. 2012 11:23)

PanTau napsal(a):
Čím bych měl $2n+\sqrt{5n^2+7n+4}$ rozšířit?

Mal som na mysli toto:
$2n-\sqrt{5n^2+7n+4}=\frac{(2n-\sqrt{5n^2+7n+4})(2n+\sqrt{5n^2+7n+4})}{2n+\sqrt{5n^2+7n+4}}=$ $\frac{4n^2-(5n^2+7n+4)}{2n+\sqrt{5n^2+7n+4}}=$ $\frac{-n^2-7n-4}{2n+\sqrt{5n^2+7n+4}}$

Keď už je to v tomto tvare, vieš si ďalej poradiť s limitou?

PanTau · 25. 12. 2012 11:22

Tvé rozšíření jsem pochopil, nicméně mi vrtá hlavou, kam zmizelo $4n^{2}$ v tomto kroku:

$\frac{4n^2-(5n^2+7n+4)}{2n+\sqrt{5n^2+7n+4}}=$

$\frac{-5n^2-7n-4}{2n+\sqrt{5n^2+7n+4}}$

--------------------------------------------------------------

Co se týče tvé otázky, zdali vím co s limitou, tak nevím

$\frac{-5n^2-7n-4}{2n+\sqrt{5n^2+7n+4}}$

Ve výše zmíněném kroku je opět trojčlen pod odmocninou, měl bych opět rozšířit?

kompik · 25. 12. 2012 11:30

PanTau napsal(a):
Tvé rozšíření jsem pochopil, nicméně mi vrtá hlavou, kam zmizelo $4n^{2}$ v tomto kroku:

To bola samozrejme chyba/preklep.

PanTau napsal(a):
Co se týče tvé otázky, zdali vím co s limitou, tak nevím

Skúsme čitateľ aj menovateľ predeliť n. (Pretože $\sqrt{5n^2+7n+4}$ sa v limite správa zhruba ako $\sqrt5n$ , je to najvyššia mocnina v menovateli.)
$\frac{-n^2-7n-4}{2n+\sqrt{5n^2+7n+4}}=\frac{-n-7-\frac4n}{2+\sqrt{5+\frac7n+\frac4{n^2}}}$
(Teraz som už dúfam preklepy neurobil.)
Čomu je rovná limita čitateľa? Čomu je rovná limita menovateľa?

PanTau · 25. 12. 2012 11:39

↑ kompik:

Teď už je to jasné, v čitateli je vyšší exponent v podstatě ve jmenovateli žádný (protože $\frac{7}{n}$ , $\frac{4}{n^{2}}$ - jdou do nuly)

Výsledkem je tedy $-\infty$

Je tomu tak?

kompik · 25. 12. 2012 11:40

PanTau napsal(a):
Výsledkem je tedy $-\infty$

Je tomu tak?

Áno sedí, čitateľ ide k $-\infty$ menovateľ ku kladnému číslu $2+\sqrt5$ , teda podiel musí ísť k $-\infty$ .

PanTau · 25. 12. 2012 11:42

Děkuji za radu a výpomoc :-)

Matematické Fórum

#1 25. 12. 2012 10:59

Limita posloupniosti

#2 25. 12. 2012 11:03

Re: Limita posloupniosti

#3 25. 12. 2012 11:13

Re: Limita posloupniosti

#4 25. 12. 2012 11:16 — Editoval kompik (25. 12. 2012 11:23)

Re: Limita posloupniosti

PanTau napsal(a):

#5 25. 12. 2012 11:22

Re: Limita posloupniosti

#6 25. 12. 2012 11:30

Re: Limita posloupniosti

PanTau napsal(a):

PanTau napsal(a):

#7 25. 12. 2012 11:39

Re: Limita posloupniosti

#8 25. 12. 2012 11:40

Re: Limita posloupniosti

PanTau napsal(a):

#9 25. 12. 2012 11:42

Re: Limita posloupniosti

Zápatí